From 1abcc1f9e2d4698d340b18823b944a18e0fe4eea Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Marco Ammon Date: Thu, 15 Oct 2020 14:53:10 +0200 Subject: [PATCH] Hilfsmakros --- zusammenfassung.pdf | Bin 312582 -> 314306 bytes zusammenfassung.tex | 385 +++++++++++++++++++++++++------------------- 2 files changed, 219 insertions(+), 166 deletions(-) diff --git a/zusammenfassung.pdf b/zusammenfassung.pdf index 532339685e1e0ae39e263973a781485646204532..3a92e63e70773c57b1ef6af073d0d65ddb91cf6b 100644 GIT binary patch delta 97072 zcmZs?Q+Fi{6RjKDwr$%^Iz}hy*tWT1d&Ne_NyoNr+qRvY_uJ=ckFoFS2h34(j+#$} zMWOenp(jv+vH@B7=n|DtK-m(F@Bli@BZ_~LdW|S^65T8ww^lrEIFYbGk@SW7eDncA ze)o^c5dp>&l$d>IBLOnOFeZUy2&_ce)4?x$eMd(zd$kPaF(G*i8oH&D`a^5|jLBAA zx|DC1H46qSL8281Fwn3`f66n-n9NXEFaZ7P(5Oo? zF8cr(hI`s)S-lavWQkOFxB-&2jD5*rHPK5k=eG<~2kkTq=e|$@3_v)=KCRd1dPPku zRsEyr^LmEqdeb9f-(Ia=LTb`{Iu?J^G*Dd$I6)Emd@${Ruv#8Nn3KJSRioa4gG!g^ zSxL+fn`m$uAMY}4WNZ6S*wx-h{#+Gw{hWa;c9Hkb{+{`jIEaDy3jp^uI<5VrULS`z 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zp}$|rgQ`bBVh1zbgKGCrdc6&ha+f{>4oyvXB)EM{7OPp|m_JvK>H`nUoeMa;`{ExP z%brt_1Af8tE)TIr=#Vy%+#(R#ylj;37O9u}@UH|LR)}drqB(}Ac!x+=apcPW-tU7W zXh@R-O_uWL)dml7R+#Xy+i=*3q$J(C)l z<>0B`5|zM|vxsB0t7*V*E;i@Qrkl6?2YDR-X`_vjI;jxoKLPC~Ib=@VQu~CEtM~o! zC`>^~Iob`gHc~77lAat>X}g&hR(2e(gZBYhcJR7R8asSV_#vmRvo)B6wr?F@TNJ(n zP;3nup-_88kUOycGZgdMfWK7-GeqP3N~sGI z^lqVhlTQjjJ~Ic?xn!6u8$sXORD3aE_flR+)?h}oD-vgaK9>qZ(Pxy}`{!*BZ5}^og}VD5TvXSRYTxx*JNcWoW;kU z>=V9;%11iA;fn|S;&sWJitmMX(2Asr)K!cxpEq*6C#O3(rYtS5H;Dz(hwg~%Ps#mw z^i%=i78YXKJs1fWPNGbW1)L91=dZ=Oh!gW9Ve=4*8O4q9RyjMf6$tNoeSN)3N%IZm z#>>`DO{65YON?^YsUfRW;=?`w`B$)G%(GNyHJA2Sby6ltxnR|)W0WZAu4kX?I_fNu zeiG5(+(|o08DYi)wB`J4JznO6R5IOK-=7y^{LF<75y4-T|GKwFeYG7x6Vyam3mwYl zDMXNdJVd(lNBJxjzt(l`h)(q8BUaq+T{vpWJMZ6quN^vPbh^LZA7f=i=O>F5K@zCm zl2NYjFg@6Q+)CZ^J~>m;X#ino_KLk1coVnAnhy9PDfdOr!Hwe2fXJ|GXJ9nMkf*UYoovmhzL{RrYrw*MP+upl5*3iDnXi1xfJB2_t6yEO&;iA1Ff< zxE3&8dxX_idr8R2s1phuuK-h&-DW)uOH)-=+&&?$>J;ua3acy^{=lgvE zZdkZcJY(;u3~tF9TdWUV@@aCBa%IZpbI+MaA04{ucq<}qrs7x%@L=_Z&Z%L zl{Il?t}$d9Y}6W$lyp3~I=qzgrp{#!w_|G^fo@$8`9(#2Zp@uB*MN_n>?03Yt%2yLks+Jk0Bi7VtB#berYR8BXBOYnVBywU>RLs{%g$Y&P*&bf z<_C}FN8pL_0}~7QoogXdbzdk&p}Q@!fwz*#brD4(rbnV4k`_DJztB|gJgK{vdnbG} z%fwO8a<~7r4ZHrrgO-|pZ$AgBw)#@t!IA`2Cewov92*CiA{4rD2^G<)OvjsS3A0jE zQ8Gx=Pqf&+Rn=i2f5nK0q3R5dJ5t7FCz zRaUv*2rpPvg%Z7Kg!O3l9G_34nRDn{&^sUOwV6`Mx9?WL_g#Kg$oc(R=n3)eMb~R; z&K0U%ZJN*X>2c+zN{Aryk_f5O6$~6-nh5KoTjFP`U)0zAZTjGE+*BzZ)%vJ)UV(tM zYR%ldJUk!o*P(NP7~ABl{-@ZpA4E4tVg)SET!$+@H`6XRsAP>8)Z#~#&(O4acA1x4 z?!)E@cQhZ?z-~3rGuR^wPZjonek>X}EU4-ZdD(t4iM?N@dg6U1ub1kqDwg+a%I6e8 z9}V>E)FiEeI{$E)zsGVPc6%7O1zCx7W!5U+HW^-Zb)6V5H5qcTid8mBbv~*T#%w&+ z|#3I=vMpe7RQmT4-wmj zQ$S#kn+v8yuW2hZTtT`gUnvnm3d=+G_D6cHk*_crtshZ(MDJ-kA`j_%pdsZz{U8{E z_Dez?BA@n+OSb(}aM!K2%M+3&>k#wx*y9CA%`3f@`?xbc0!6zA6bJ5&wP?ZHwsu`g zw->O0tt>qvXIxg9s{&h7%3OdXDgBm#vm)Ytb`eA&IZJ znyF$^;bK|5N`K5n`MHvHW%YtY_k<(s)L{a0I{KfMMf$60;tMjC3k!*qU7%{g7T z?2enXhDdi|hcb=-35i}>7WqGTA9y&D^SS_m05%p5wq%-a0MY+0$#(;i5=f2-@HklE znItWNPR_*a9RJs^z{1YP@n3$0Kbi^=1YD>cQ&rP5_zvo&vsAc&HE==XiVpFr*M>$Y zV}2dhu0td*PaX>l4Fz@zp#({njA{#B4?hbp31!tSB}S<8qw;Y7+(eeC_QPqY&_Bi| za(vgQvLV&c;vsTe7-ie-&=8#QN5yyPu2W|rjX|K*+6Q94nD&4Vqq1s(h*K>b_Yz4W z){_zq?I{h6;bzVqF*f{DMC2f0GzYzcRDV!12kB1}hQpllKzhUt+v;Bgf1Gnbsa&|6W-ej){}2 zTF$wb2n5V}IabfZuvCWnU1z_7ft-WQ;-Z&gJ^c|Kac14_Ero@G(#9?hZgnel#%Yr) zT8eRM#m)6RF>RA9vIl3rrNhj0E`GfL+l>ITaq33Z zBHYS$<(wz6pl29CixxuBlgnf~x`b{`e3y;sg`_4)lMQ|Pew8vur`K%@*Eq3=Ja|0X zp<5x2_wqAQgBy#EO|Dfsm#vczkm+Fuz|0kfrA4;hNArG&coHdN)3atL0;ws?3yba+ zWaum8kVRd_r9b~^$Tr;o{4!Nd`a{Hz5jK!5Dd*JVfE02m#`9JEPYq(X#tPe14TmF6 zQ&6jbE~2x=XT`4kCmj|T+LR_RE%Fy23|A+YIp%%SQ+C|8^fE83v>BbW)x*K_gV~KT z<~p5&QiZBLyGlF2xCOwO5d31W<%skKB=!y=3~ zcY_-|M_qVCi9rc2S6y%>;n#z>;-azarI{n1D*8bS1#zzv<@JHPTfAA_MxFGDf^}+v zbA?1fh7c21hF>$cE%yXMp6tA>U>wE2Mbg%SNvR;2#)jXlG@RJevgv<+F-J_L{E3}q z0OdHaRks@N~GpF?H+%*U@Yjm>YEhK$TZLCjtY^6QH%UJJ``)^wSf)s0@;RG-Y%5uc4o9cpn6&`0n;kNMG^v@!-|VfYk( zN0_gUW&WRLea>XUApkLmjfYDYo=Mfx)0FtD2+yQJtj$8qM$GbMRI#^r{xY%?GZU-8 zGs)PQ*?-kI{<|hltj*6Q#wEeZ#v;Kc&MLw!%E7_SBE}=iDk&z;$|fQ%#=|2>{Qqr& zBKUP8c~d)cXA5E;R&L_|`lJvhj@c`U;0_)M9C?>|TF`hZGsvoG+jcb;`&OvSExa$b z{?U^b7c~;0v_lA6j$PL5sEMntqbxx}L(rx}&~|;sDeW@98@rnvPi4CsXTuPMjgW!e zgmLxXkfR15s4_u}3PY&G`a@_!k9GrpAglYq#|Hi}z$yl)8E|MqmV$bIRU?@{$9?v27A$Phf=f(Lf7h4bV zH1ukZ;CDX6VCH^1Co~^v1?(Q@zD!b-alfSpIfY|^SF>d5)b+v zyAhoPCSOVP5pr7D;e$8-bc|-ZIBD11iA) ze%${K8~XG$1>S0A~6}ACHh3z|a%Ky6phkks%lzc_e zrlYraLZTtgoGMSxaz|O&R_!fN!t*QEkjKOI_B?38n!dd`w+Fg4{-nFm zHh}DD7_I@7Ox>Upe<79_{{80BP6=nHZAC?;8i;!uaDf-+xjp2jaoi6jHOHD-TKBXH-di%m^`AvLZvvuGvxunV9|TM3*1N{F{zVt z0lcKPEu99X#g25sP!t&ZJeo2kG8+D}vL8uwo@F!*0UW|4CO$7;Lq`YdOa#e*&4ZyB z(kbV=4H%LEnFS!jw9>#1!jrTKtfSmhsmUL^ny@~AFbAnV5V;z|Ie-xXq-Qm;VHWij z>IE_@d{q%Jb0d;_NbBGz5v=RFDs r \cdot n \end{equation*} @@ -288,14 +337,14 @@ Weiter lassen sich damit obere bzw. untere Schranken der Optimallösung aus eine \end{itemize} - Durch den folgenden Algorithmus kann also \problem{Hamilton} entschieden werden: - \begin{algorithmic}[] + Durch den folgenden Algorithmus kann also \hamilton{} entschieden werden: + \begin{algorithmic}[1] \State konstruiere $I_G$ \State approximiere mit $A$ eine kürzeste Rundreise $A(I_G)$ \If{$A(I_G) > r \cdot \abs{V}$} - \State \Return $G \notin \problem{Hamilton}$ + \State \Return $G \notin \hamilton{}$ \Else - \State \Return $G \in \problem{Hamilton}$ + \State \Return $G \in \hamilton{}$ \EndIf \end{algorithmic} \end{proof} @@ -308,12 +357,12 @@ Während die Ergebnisse von Approximationsalgorithmen mit absoluter oder relativ \subsection{Definition} Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\Pi$, der eine Probleminstanz $I$ von $\Pi$ und ein $0 < \varepsilon < 1$ bekommt. \begin{enumerate} - \item $A$ ist ein polynomielles Approximationsschema (PAS) für $\Pi$, wenn $A$ zu jedem $I$ und für jedes $\varepsilon$ in Zeit $\mathcal{O}(\mathrm{poly}(\abs{I}))$ eine zulässige Lösung zu $I$ mit relativem Fehler $\varepsilon_A(I, \varepsilon) \le \varepsilon$ berechnet. - \item $A$ ist ein streng polynomielles Approximationsschema (FPAS), wenn $A$ ein PAS mit Laufzeit $\mathcal{O}(poly\left(\abs{I}, \frac{1}{\varepsilon}\right))$ ist. + \item $A$ ist ein polynomielles Approximationsschema (PAS) für $\Pi$, wenn $A$ zu jedem $I$ und für jedes $\varepsilon$ in Zeit $\bigO(\poly(\abs{I}))$ eine zulässige Lösung zu $I$ mit relativem Fehler $\varepsilon_A(I, \varepsilon) \le \varepsilon$ berechnet. + \item $A$ ist ein streng polynomielles Approximationsschema (FPAS), wenn $A$ ein PAS mit Laufzeit $\bigO(poly\left(\abs{I}, \frac{1}{\varepsilon}\right))$ ist. \end{enumerate} \begin{satz}[Umwandlung eines (F)PAS in einen exakten Algorithmus] - Sei $A$ ein (F)PAS und zu jeder Eingabe $I$ $Z(I)$ eine obere Schranke. Sei $\varepsilon^* = \frac{1}{Z(I) + 1}$, dann ist $A(I, \varepsilon^*) = \opt(I)$. Sofern $A$ ein FPAS ist, liegt die Laufzeit in $\mathcal{O}(\mathrm{poly}(\abs{I}, Z(I)))$. + Sei $A$ ein (F)PAS und zu jeder Eingabe $I$ $Z(I)$ eine obere Schranke. Sei $\varepsilon^* = \frac{1}{Z(I) + 1}$, dann ist $A(I, \varepsilon^*) = \opt(I)$. Sofern $A$ ein FPAS ist, liegt die Laufzeit in $\bigO(\poly(\abs{I}, Z(I)))$. \end{satz} \begin{proof} Starte $A$ mit Eingabe $I$ und $\varepsilon^*$. Es wird eine zulässige Lösung zu $I$ gefunden, für ihren relativen Fehler gilt @@ -329,14 +378,14 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P \subsection{Unmöglichkeitsergebnisse für Approximationschemata} \begin{satz} - Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem. Wenn es ein Polynom $q(\cdot, \cdot)$ gibt, sodass $\forall I \in \mathcal{D}: \opt(I) \le q(\abs{I}, \mathrm{maxnr}(I))$ gilt, dann folgt aus der Existenz eines FPAS für $\Pi$, dass ein pseudo-polynomieller exakter Algorithmus für $\Pi$ existiert. + Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem. Wenn es ein Polynom $q(\cdot, \cdot)$ gibt, sodass $\forall I \in \domain: \opt(I) \le q(\abs{I}, \maxnr(I))$ gilt, dann folgt aus der Existenz eines FPAS für $\Pi$, dass ein pseudo-polynomieller exakter Algorithmus für $\Pi$ existiert. \end{satz} \begin{satz} Wenn es für eine Optimierungsvariante eines stark NP-vollständigen Problems ein FPAS gibt, dann folgt $P = NP$. \end{satz} -\section{\algo{GreedyIS} für \problem{IS}} -\begin{algorithmic}[] +\section{\greedyis für \is} +\begin{algorithmic}[1] \State $U = \emptyset, t = 0, V^{(0)} = V$ \While{$V^{(t)} \neq \emptyset$} \State $G^{(t)} =\, \text{der durch}\,V^{(t)}\,\text{induzierte Graph}$ @@ -351,7 +400,7 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P \begin{satz} Sei $G$ ein knoten-$k$-färbbarer Graph, dann ist \begin{equation*} - \algo{GreedyIS}(G) \ge \left\lceil \log_k\left(\frac{\abs{V}}{3}\right) \right\rceil + \greedyis(G) \ge \left\lceil \log_k\left(\frac{\abs{V}}{3}\right) \right\rceil \end{equation*} \end{satz} @@ -384,42 +433,42 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P \end{proof} \section{Knotenfärbungsalgorithmen} -\subsection{\algo{GreedyCol}} -\begin{algorithmic}[] +\subsection{\greedycol} +\begin{algorithmic}[1] \ForAll{$u_i \in V$} - \State $c_\mathrm{V}(u_i) = \infty$ + \State $c_\vertices(u_i) = \infty$ \EndFor \ForAll{$i \in [1,\dots, \abs{V}]$} - \State $c_\mathrm{V}(u_i) = \min\{\mathbb{N}\setminus\{c_\mathrm{V}(\Gamma(u_i))\}\}$ + \State $c_\vertices(u_i) = \min\{\naturals\setminus\{c_\vertices(\Gamma(u_i))\}\}$ \EndFor - \State\Return $c_\mathrm{V}$ + \State\Return $c_\vertices$ \end{algorithmic} \begin{satz} - \algo{GreedyCol} berechnet in Zeit $\mathcal{O}(\abs{V} + \abs{E})$ eine Knotenfärbung aus höchstens $\Delta(G) + 1$ Farben. + \greedycol{} berechnet in Zeit $\bigO(\abs{V} + \abs{E})$ eine Knotenfärbung aus höchstens $\Delta(G) + 1$ Farben. \end{satz} \begin{proof} Da ein Knoten $u$ maximal $\Delta(G)$ viele Nachbarn haben kann, muss in $[1,\dots,\Delta(G)+1]$ noch mindestens eine Farbe frei sein. \end{proof} \begin{satz} - \algo{GreedyCol} garantiert eine absolute Güte von + \greedycol{} garantiert eine absolute Güte von \begin{equation*} - \kappa_\algo{GreedyCol}(G) = \algo{GreedyCol}(G) - \opt(G) \le \Delta(G) + 1 - 2 = \Delta(G) - 1 + \kappa_\greedycol(G) = \greedycol(G) - \opt(G) \le \Delta(G) + 1 - 2 = \Delta(G) - 1 \end{equation*} , weil die untere Schranke $\opt(G)\ge 2$ für Graphen mit $\abs{V} \ge 2$ gilt. \end{satz} \begin{zeuge} - $\Delta(G) - 1$-Zeuge gegen \algo{GreedyCol}: TODO (Abbildung 2.1) + $\Delta(G) - 1$-Zeuge gegen \greedycol: TODO (Abbildung 2.1) \end{zeuge} -\subsection{\algo{GreedyCol2}} -\begin{algorithmic}[] +\subsection{\greedycoltwo} +\begin{algorithmic}[1] \State $t = 1, V^{(1)} = V$ \While{$V^{(t)} \neq \emptyset$} \State $G^{(t)} =$ der durch $V^{(t)}$ induzierte Graph - \State $U_t = \algo{GreedyIS}(G^{(t)})$ + \State $U_t = \greedyis(G^{(t)})$ \State färbe alle Knoten in $U_t$ mit Farbe $t$ \State $V^{(t+1)} = V^{(t)} - U_t$ \State $t = t + 1$ @@ -428,10 +477,10 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P \end{algorithmic} \begin{satz} - Für einen knoten-$k$-färbbaren Graph $G = (V, E)$ mit $n = \abs{V}$ gibt \algo{GreedyCol2} eine Färbung mit höchstens $\frac{3n}{\log_k \left(\frac{n}{16}\right)}$. Die relative Gütegarantie liegt als in $\mathcal{O}\left(\frac{n}{\log n}\right)$. + Für einen knoten-$k$-färbbaren Graph $G = (V, E)$ mit $n = \abs{V}$ gibt \greedycoltwo{} eine Färbung mit höchstens $\frac{3n}{\log_k \left(\frac{n}{16}\right)}$. Die relative Gütegarantie liegt als in $\bigO\left(\frac{n}{\log n}\right)$. \end{satz} \begin{proof} - Zur Vereinfachung bezeichne $n_t = \abs{V^{(t)}}$. Aus der Analyse von \algo{GreedyIS} folgt $\abs{U_t} \ge \log_k\left(\frac{n_t}{3}\right)$. Es ergibt sich die Rekursion + Zur Vereinfachung bezeichne $n_t = \abs{V^{(t)}}$. Aus der Analyse von \greedyis{} folgt $\abs{U_t} \ge \log_k\left(\frac{n_t}{3}\right)$. Es ergibt sich die Rekursion \begin{align*} n_1 &= n\\ n_{t + 1} &\le n_t - \log_k\left(\frac{n_t}{3}\right) @@ -446,7 +495,7 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P Mit $k = \chi_G = \opt(G)$ ergibt sich für die relative Gütegarantie: \begin{equation*} - \frac{\algo{GreedyCol2(G)}}{\opt(G)} \le \frac{\frac{3n}{\log_k\left(\frac{n}{16}\right)}}{k} = \mathcal{O}\left(\frac{n}{\log n}\right) + \frac{\algo{GreedyCol2(G)}}{\opt(G)} \le \frac{\frac{3n}{\log_k\left(\frac{n}{16}\right)}}{k} = \bigO\left(\frac{n}{\log n}\right) \end{equation*} \end{proof} @@ -454,32 +503,32 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P TODO: Übung -\section{Christofides' Algorithmus \algo{CH} für das metrische TSP $\Delta\problem{TSP}$} -Ein Matching $M$ eines kantengewichteten Graphen $G$ ist ein Teilgraph von $G$ mit $\Delta(G) \le 1$. Ist $G$ ein vollständiger Graph mit $\abs{V}$ gerade, dann gibt es perfekte Matchings. In einem perfekten Matching haben alle Knoten genau den Grad 1. Ein perfektes Matching mit kleinstmöglichem Gewicht wird als leichtestes Matching bezeichnet. Ein solches leichtestes Matching kann in $\mathcal{O}(n^{2.5}\cdot (\log n)^4)$ berechnet werden. +\section{Christofides' Algorithmus \algo{CH} für das metrische \tsp $\deltatsp$} +Ein Matching $M$ eines kantengewichteten Graphen $G$ ist ein Teilgraph von $G$ mit $\Delta(G) \le 1$. Ist $G$ ein vollständiger Graph mit $\abs{V}$ gerade, dann gibt es perfekte Matchings. In einem perfekten Matching haben alle Knoten genau den Grad 1. Ein perfektes Matching mit kleinstmöglichem Gewicht wird als leichtestes Matching bezeichnet. Ein solches leichtestes Matching kann in $\bigO(n^{2.5}\cdot (\log n)^4)$ berechnet werden. Als Multi-Graph wird ein Graph bezeichnet, der um mehrere Kanten zwischen den gleichen Knoten erweitert wurde. -Wird in einem Pfad jede Kante des (Multi-)Graph genau einmal besucht, so spricht man von einem Euler-Pfad. Bildet der Pfad einen Kreis, so nennt man ihn Euler-Kreis oder Euler-Tour. Haben alle Knoten von $G$ geraden Grad, so existiert eine Euler-Tour in $G$. Diese lässt sich in $\mathcal{O}(\abs{V} + \abs{E})$ berechnen. +Wird in einem Pfad jede Kante des (Multi-)Graph genau einmal besucht, so spricht man von einem Euler-Pfad. Bildet der Pfad einen Kreis, so nennt man ihn Euler-Kreis oder Euler-Tour. Haben alle Knoten von $G$ geraden Grad, so existiert eine Euler-Tour in $G$. Diese lässt sich in $\bigO(\abs{V} + \abs{E})$ berechnen. Der Algorithmus von Christofides (\algo{CH}) geht wie folgt vor: \begin{algorithmic}[1] - \State berechne einen minimalen Spannbaum $T_\mathrm{CH}$ von $I = \langle K_n, c\rangle$ - \State $S = \{v \in T_\mathrm{CH} \mid \mathrm{deg}_{T_\mathrm{CH}}(v)\, \text{ungerade}\}$ \Comment{$\abs{S}$ ist gerade} - \State berechne auf dem durch $S$ induzierten Teilgraphen des $K_n$ ein leichtestes Matching $M_\mathrm{CH}$ - \State berechne eine Euler-Tour $E = (u_1, u_2, \dots)$ auf $T_\mathrm{CH} \cupdot M_\mathrm{CH}$ \Comment{$T_\mathrm{CH} \cupdot M_\mathrm{CH}$ kann Multi-Graph sein, alle Knoten haben geraden Grad} + \State berechne einen minimalen Spannbaum $T_\ch$ von $I = \encoded{ K_n, c}$ + \State $S = \{v \in T_\ch \mid \mathrm{deg}_{T_\ch}(v)\, \text{ungerade}\}$ \Comment{$\abs{S}$ ist gerade} + \State berechne auf dem durch $S$ induzierten Teilgraphen des $K_n$ ein leichtestes Matching $M_\ch$ + \State berechne eine Euler-Tour $E = (u_1, u_2, \dots)$ auf $T_\ch \cupdot M_\ch$ \Comment{$T_\ch \cupdot M_\ch$ kann Multi-Graph sein, alle Knoten haben geraden Grad} \State entferne Wiederholungen von Knoten in $E$, sodass man $E'$ erhält \State\Return $E'$ \end{algorithmic} \begin{satz} - \algo{CH}, gestartet mit einer Eingabe auf $n$ Knoten, garantiert eine relative Güte von $\rho_\mathrm{CH} \le \frac{3}{2} - \frac{1}{n}$ in einer Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2.5}\cdot (\log n)^4)$. + \algo{CH}, gestartet mit einer Eingabe auf $n$ Knoten, garantiert eine relative Güte von $\rho_\ch \le \frac{3}{2} - \frac{1}{n}$ in einer Laufzeit von $\bigO(n^{2.5}\cdot (\log n)^4)$. \end{satz} \begin{proof} Sei $R^*$ eine optimale Rundreise für $I$, d.h. $c(R^*) = \opt(I)$. Es gilt $\algo{CH}(I) = c(E') \le (\frac{3}{2} - \frac{1}{n}) \cdot c(R^*)$ zu zeigen. \begin{enumerate} - \item Da $R^*$ aus $n$ Kanten besteht, muss durch ein Durchschnittsargument mindestens eine Kante $e$ mit $c(e) \ge \frac{c(R^*)}{n}$ existieren. Wird diese aus $R^*$ entfernt, so enthält man einen Spannbaum des $K_n$. Da $T_\mathrm{CH}$ minimal ist, gilt + \item Da $R^*$ aus $n$ Kanten besteht, muss durch ein Durchschnittsargument mindestens eine Kante $e$ mit $c(e) \ge \frac{c(R^*)}{n}$ existieren. Wird diese aus $R^*$ entfernt, so enthält man einen Spannbaum des $K_n$. Da $T_\ch$ minimal ist, gilt \begin{equation*} - c(T_\mathrm{CH}) \le c(R^*) - \frac{c(R^*)}{n} = \left(1 - \frac{1}{n}\right) \cdot c(R^*) + c(T_\ch) \le c(R^*) - \frac{c(R^*)}{n} = \left(1 - \frac{1}{n}\right) \cdot c(R^*) \end{equation*} \item In beliebigen Bäumen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. \item Zur Vereinfachung werden die Knoten so umbenannt, dass $R^* = (u_1, u_2, \dots, u_n, u_1)$ ist. @@ -487,13 +536,13 @@ Der Algorithmus von Christofides (\algo{CH}) geht wie folgt vor: Aus $S$ kann ein Kreis $H = (u_{i_1}, \dots, u_{i_{\abs{S}}}, u_{i_1})$ gebildet werden. Durch die Dreiecksungleichung ($\abs{H} \le n$ und jede \enquote{Abkürzung} ist maximal gleich lang wie der Weg in $R^*$) gilt $c(H) \le c(R^*)$. - Es können zwei perfekte Matching $M_1$ und $M_2$ auf $H$ berechnet werden, denn $\abs{S}$ ist gerade. Weil $M_\mathrm{CH}$ minimal ist, folgt o.B.d.A. mit $c(M_1) \le c(M_2)$ die Aussage + Es können zwei perfekte Matching $M_1$ und $M_2$ auf $H$ berechnet werden, denn $\abs{S}$ ist gerade. Weil $M_\ch$ minimal ist, folgt o.B.d.A. mit $c(M_1) \le c(M_2)$ die Aussage \begin{equation*} - c(M_\mathrm{CH}) \leq c(M_1) \le \frac{1}{2} \cdot (c(M_1) + c(M_2)) = \frac{1}{2} \cdot c(H) \le \frac{1}{2} \cdot c(R^*) + c(M_\ch) \leq c(M_1) \le \frac{1}{2} \cdot (c(M_1) + c(M_2)) = \frac{1}{2} \cdot c(H) \le \frac{1}{2} \cdot c(R^*) \end{equation*} - \item Da jeder Knoten in $T_\mathrm{CH} \cupdot M_\mathrm{CH}$ geraden Grad hat, kann eine Euler-Tour $E$ berechnet werden. Weil diese nur Kanten aus $T_\mathrm{CH} \cupdot M_\mathrm{CH}$ benutzt, kann ihre Länge mit den vorherigen Ergebnissen wie folgt beschränkt werden: + \item Da jeder Knoten in $T_\ch \cupdot M_\ch$ geraden Grad hat, kann eine Euler-Tour $E$ berechnet werden. Weil diese nur Kanten aus $T_\ch \cupdot M_\ch$ benutzt, kann ihre Länge mit den vorherigen Ergebnissen wie folgt beschränkt werden: \begin{equation*} - c(E) = c(T_\mathrm{CH} \cupdot M_\mathrm{CH}) \le \left(1 - \frac{1}{n}\right)\cdot c(R^*) + \frac{1}{n}\cdot c(R^*) = \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{n}\right) \cdot \opt(I) + c(E) = c(T_\ch \cupdot M_\ch) \le \left(1 - \frac{1}{n}\right)\cdot c(R^*) + \frac{1}{n}\cdot c(R^*) = \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{n}\right) \cdot \opt(I) \end{equation*} \item Durch die Dreiecksungleichung kann $E'$ nicht länger als $E$ werden. \end{enumerate} @@ -502,62 +551,62 @@ Der Algorithmus von Christofides (\algo{CH}) geht wie folgt vor: TODO \end{zeuge} -\section{Approximationsschema für \problem{Rucksack}} -\subsection{\algo{DynRucksack} zur exakten Lösung von \problem{Rucksack}} -Für eine Instanz $I = \langle W, \mathrm{vol}, p, B\rangle$ kann direkt eine obere und eine untere Grenze für den maximalen Wert der Füllung angegeben werden: +\section{Approximationsschema für \rucksack} +\subsection{\dynrucksack{} zur exakten Lösung von \rucksack} +Für eine Instanz $I = \encoded{ W, \vol, p, B}$ kann direkt eine obere und eine untere Grenze für den maximalen Wert der Füllung angegeben werden: \begin{equation*} P_{\max} \le \opt(I) \le n \cdot P_{\max} \end{equation*} -Sei $F_j(\alpha)$, wobei $j \in \{0, 1, \dots, n\} und $$\alpha \in \mathbb{Z}$ gilt, das kleinste benötigte Rucksackvolumen, mit dem man einen Wert von mindestes $\alpha$ erreichen kann, wenn man die ersten $j$ Waren einpacken darf. +Sei $F_j(\alpha)$, wobei $j \in \{0, 1, \dots, n\}$ und $\alpha \in \mathbb{Z}$ gilt, das kleinste benötigte Rucksackvolumen, mit dem man einen Wert von mindestens $\alpha$ erreichen kann, wenn man die ersten $j$ Waren einpacken darf. Die formale Definition \begin{equation*} - F_j(\alpha) = \min\{\mathrm{vol}(R)\mid R \subseteq \{1, \dots, j\}, p(R) \ge \alpha\} + F_j(\alpha) = \min\{\vol(R)\mid R \subseteq \{1, \dots, j\}, p(R) \ge \alpha\} \end{equation*} lässt sich durch die folgende Rekursion ausdrücken: \begin{equation*} f_j(\alpha) = \begin{cases*} 0 & falls $\alpha \le 0$\\ \infty & falls $\alpha \ge 1, j = 0$\\ - \min\{F_{j-1}(\alpha - p_j) + \mathrm{vol}(j), F_{j-1}(\alpha)\} & sonst (sog. Bellmannsche Optimalitätsgl.) + \min\{F_{j-1}(\alpha - p_j) + \vol(j), F_{j-1}(\alpha)\} & sonst (sog. Bellmannsche Optimalitätsgl.) \end{cases*} \end{equation*} -Der Algorithmus \algo{DynRucksack} setzt diese durch dynamische Programmierung um: -\begin{algorithmic}[] +Der Algorithmus \dynrucksack{} setzt diese durch dynamische Programmierung um: +\begin{algorithmic}[1] \State $\alpha = 0$ \Repeat \State $\alpha = \alpha + 1$ \For{$j = 1$ to $n$} - \State $F_j(\alpha) = \min\{F_{j-1}(\alpha - p_j) + \mathrm{vol}(j), F_{j-1}(\alpha)\}$ + \State $F_j(\alpha) = \min\{F_{j-1}(\alpha - p_j) + \vol(j), F_{j-1}(\alpha)\}$ \EndFor \Until{$B < F_n(\alpha)$} \State \Return $\alpha - 1$ \end{algorithmic} \begin{satz} - \algo{DynRucksack} berechnet zur Eingabe $I$ den Wert $\opt(I)$ in Zeit $\mathcal{O}(n \cdot \opt(I)) = \mathcal{O}(n^2 \cdot P_{\max})$. + \dynrucksack{} berechnet zur Eingabe $I$ den Wert $\opt(I)$ in Zeit $\bigO(n \cdot \opt(I)) = \bigO(n^2 \cdot P_{\max})$. \end{satz} \subsection{\algo{AR\textsubscript{$k$}} zur Approximation mit konstantem relativen Fehler} Der Algorithmus \algo{AR\textsubscript{$k$}} rechnet mit um den Faktor $k$ reduzierten, gerundeten Preisen: -\begin{algorithmic}[] - \State $p_\mathrm{red}(w) = \left\lfloor\frac{p(w)}{k}\right\rfloor$ - \State $I_\mathrm{red} = \langle W, \mathrm{vol}, p_\mathrm{red}, B \rangle$ - \State $R_k = \Call{\algo{DynRucksack}}{I_\mathrm{red}}$ +\begin{algorithmic}[1] + \State $p_\red(w) = \left\lfloor\frac{p(w)}{k}\right\rfloor$ + \State $I_\red = \encoded{ W, \vol, p_\red, B }$ + \State $R_k = \Call{\dynrucksack{}}{I_\red}$ \State \Return $R_k$ \end{algorithmic} \begin{satz} - \algo{AR\textsubscript{$k$}} macht bei Eingabe $I$ einen relativen Fehler von $\varepsilon_{\algo{AR\textsubscript{$k$}}} \le \frac{k \cdot n}{P_{\max}}$ und hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^2 \cdot \frac{P_{\max}}{k})$. + \algo{AR\textsubscript{$k$}} macht bei Eingabe $I$ einen relativen Fehler von $\varepsilon_{\algo{AR\textsubscript{$k$}}} \le \frac{k \cdot n}{P_{\max}}$ und hat eine Laufzeit von $\bigO(n^2 \cdot \frac{P_{\max}}{k})$. \end{satz} \begin{proof} - Sei $R^*$ die Indexmenge einer optimalen Rucksackfüllung für $I$ und $R_k$ die berechnete Indexmenge der Lösung des um $k$ reduzierten Problems $I_\mathrm{red}$. + Sei $R^*$ die Indexmenge einer optimalen Rucksackfüllung für $I$ und $R_k$ die berechnete Indexmenge der Lösung des um $k$ reduzierten Problems $I_\red$. - Da $R_k$ eine optimale Lösung für $I_\mathrm{red}$ ist, gilt $\opt(I_\mathrm{red}) \geq \sum_{j\in R^*}\left\lfloor\frac{p_j}{k}\right\rfloor$. Weiterhin ist $R_k$ eine zulässige Lösung für $I$. + Da $R_k$ eine optimale Lösung für $I_\red$ ist, gilt $\opt(I_\red) \geq \sum_{j\in R^*}\left\lfloor\frac{p_j}{k}\right\rfloor$. Weiterhin ist $R_k$ eine zulässige Lösung für $I$. Es gilt dann: \begin{align*} - \algo{AR}_k(I) &= p(R_k) \ge k \cdot \sum_{j\in R_k} \left\lfloor \frac{p_j}{k}\right\rfloor = k \cdot \opt(I_\mathrm{red})\\ + \algo{AR}_k(I) &= p(R_k) \ge k \cdot \sum_{j\in R_k} \left\lfloor \frac{p_j}{k}\right\rfloor = k \cdot \opt(I_\red)\\ &\ge k\cdot \sum_{j\in R^*} \left\lfloor \frac{p_j}{k}\right\rfloor \ge k \cdot \sum_{j\in R^*}\left(\frac{p_j}{k} - 1\right) = \sum_{j\in R^*}\left(p_j - k\right) = p(R^*) - k \cdot \abs{R^*}\\ &= \opt(I) - k \cdot \abs{R^*} \ge \opt(I) - k \cdot n \end{align*} @@ -568,17 +617,17 @@ Der Algorithmus \algo{AR\textsubscript{$k$}} rechnet mit um den Faktor $k$ reduz \end{equation*} \end{proof} -\subsection{\algo{FPASRucksack} zur Umwandlung in ein streng polynomielles Approximationsschema} +\subsection{\fpasrucksack{} zur Umwandlung in ein streng polynomielles Approximationsschema} Um ein FPAS zu erreichen, muss gezeigt werden, dass jedes $\varepsilon \in ]0, 1[$ als relativer Fehler erreichbar ist. -Der Algorithmus \algo{FPASRucksack} verwendet dazu \algo{AR\textsubscript{$k$}} und konstruiert ein passendes $k$: -\begin{algorithmic}[] +Der Algorithmus \fpasrucksack{} verwendet dazu \algo{AR\textsubscript{$k$}} und konstruiert ein passendes $k$: +\begin{algorithmic}[1] \State bestimme $n$ und $P_{\max}$ aus der Eingabe $I$ \State $k = \varepsilon \cdot \frac{P_{\max}}{n}$ \State \Return \Call{\algo{AR\textsubscript{$k$}}}{$I$} \end{algorithmic} \begin{satz} - \algo{FPASRucksack} ist ein FPAS für \problem{Rucksack} mit einer Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n \cdot \log \frac{1}{\varepsilon} + \frac{1}{\varepsilon^4}\right)$. + \fpasrucksack{} ist ein FPAS für \rucksack{} mit einer Laufzeit von $\bigO\left(n \cdot \log \frac{1}{\varepsilon} + \frac{1}{\varepsilon^4}\right)$. \end{satz} \section{Randomisierte Approximationsalgorithmen} @@ -586,7 +635,7 @@ Der Algorithmus \algo{FPASRucksack} verwendet dazu \algo{AR\textsubscript{$k$}} \begin{satz} Sei $\Phi$ eine boolesche $(n,m)$-Formel in KNF, dann gilt \begin{equation*} - \max\{\mathrm{wahr}\left(\textsc{False}, \dots, \textsc{False}, \Phi\right), \mathrm{wahr}\left(\textsc{True}, \dots, \textsc{True}, \Phi\right)\} \ge \frac{1}{2}\cdot m + \max\{\\wahr\left(\false{}, \dots, \false{}, \Phi\right), \\wahr\left(\true{}, \dots, \true{}, \Phi\right)\} \ge \frac{1}{2}\cdot m \end{equation*} \end{satz} \begin{proof} @@ -594,11 +643,11 @@ Der Algorithmus \algo{FPASRucksack} verwendet dazu \algo{AR\textsubscript{$k$}} \end{proof} Der folgende Algorithmus $A$ nutzt die sogenannte probabilistische Methode aus, in dem eine Belegung für jede Variable stochastisch unabhängig durchgeführt wird: -\begin{algorithmic} +\begin{algorithmic}[1] \For{$i = 1\dots n$} \State $x_i = \begin{cases*} - \textsc{True} & mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$\\ - \textsc{False} & mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ + \true{} & mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$\\ + \false{} & mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ \end{cases*}$ \EndFor \State \Return $b_A = (x_1, \dots, x_n)$ @@ -619,19 +668,19 @@ Der folgende Algorithmus $A$ nutzt die sogenannte probabilistische Methode aus, \begin{equation*} E\left[A(\Phi)\right] \ge \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \cdot m \end{equation*} - Des Weiteren existiert eine Belegung $b$ mit $\mathrm{wahr}(b, \Phi) \ge \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \cdot m$. + Des Weiteren existiert eine Belegung $b$ mit $\\wahr(b, \Phi) \ge \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \cdot m$. \end{satz} \begin{proof} Für jede Klausel $C_j$ wird eine Indikator-Variable $Z_j$ mit \begin{equation*} Z_j = \begin{cases*} - 1 & falls $b_A(C_j) = $\textsc{True}\\ + 1 & falls $b_A(C_j) = $\true{}\\ 0 & sonst \end{cases*} \end{equation*} eingeführt. Da ihr Erwartungswert gleich der Wahrscheinlichkeit, dass sie 1 annimmt, ist, folgt \begin{equation*} - E\left[A(\Phi)\right] = E\left[\mathrm{wahr}(b_A, \Phi)\right] = E\left[\sum_{j=1}^{m} Z_j\right] = \sum_{j=1}^{m} \left(1 - \frac{1}{2^{k_j}}\right) \ge \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \cdot m + E\left[A(\Phi)\right] = E\left[\\wahr(b_A, \Phi)\right] = E\left[\sum_{j=1}^{m} Z_j\right] = \sum_{j=1}^{m} \left(1 - \frac{1}{2^{k_j}}\right) \ge \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \cdot m \end{equation*} Die Existenz einer solchen Belegung folgt aus einem klassischen Durchschnittsargument. \end{proof} @@ -640,7 +689,7 @@ Der folgende Algorithmus $A$ nutzt die sogenannte probabilistische Methode aus, Sei $2^k > m$, dann ist jede boolesche $(n,m)$-Formel $\Phi$ in KNF, in der jede Klausel mindestens $k$ Literale hat, erfüllbar. \end{satz} \begin{proof} - Eingesetzt in die vorherige Aussage, erhält man dann $\left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \cdot m = m - \overbrace{\frac{m}{2^k}}^{< 1}$. Aus einem Durchschnittsargument folgt auch hier, dass es eine Belegung $b$ mit $m - 1 < \mathrm{wahr}(b, \Phi) \le m$ geben muss, wegen der Ganzzahligkeit von $\mathrm{wahr}$ werden also alle $m$ Klauseln erfüllt. + Eingesetzt in die vorherige Aussage, erhält man dann $\left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \cdot m = m - \overbrace{\frac{m}{2^k}}^{< 1}$. Aus einem Durchschnittsargument folgt auch hier, dass es eine Belegung $b$ mit $m - 1 < \\wahr(b, \Phi) \le m$ geben muss, wegen der Ganzzahligkeit von $\\wahr$ werden also alle $m$ Klauseln erfüllt. \end{proof} \begin{satz} @@ -648,7 +697,7 @@ Der folgende Algorithmus $A$ nutzt die sogenannte probabilistische Methode aus, \begin{equation*} E\left[\rho_A(\Phi)\right] = \frac{\opt(\Phi)}{E\left[A(\Phi)\right]} \le \frac{m}{\left(1 - \frac{1}{2^k}\right)\cdot m} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^k}} \end{equation*} - . Die Laufzeit des Algorithmus ist $\mathcal{O}(n)$. Wenn die kürzeste Klausel mindestens 2 Literale hat, hat $A$ die erwartete relative Güte $\frac{4}{3}$. + . Die Laufzeit des Algorithmus ist $\bigO(n)$. Wenn die kürzeste Klausel mindestens 2 Literale hat, hat $A$ die erwartete relative Güte $\frac{4}{3}$. \end{satz} \begin{satz} @@ -656,41 +705,41 @@ Der folgende Algorithmus $A$ nutzt die sogenannte probabilistische Methode aus, \end{satz} \subsection{Arithmetisierung und Randomized Rounding mit Algorithmus $B$} -\problem{Max-SAT} kann auch als Lineares Programm (LP) ausgedrückt werden. +\maxsat kann auch als Lineares Programm (LP) ausgedrückt werden. Es bezeichnen im Folgenden $S_j^{\oplus}$ die Menge der Variablen, die in $C_j$ nicht negiert vorkommen, und $S_j^{\ominus}$ die Menge der Variablen, die in $C_j$ negiert vorkommen. Für jede boolesche Variable $x_i$ wird eine 0-1-Variable $\hat{x}_i$ eingeführt; für jede Klausel $C_j$ eine 0-1-Variable $\hat{Z}_j$. -Es ergibt sich also das folgende ganzahlige lineare Programm (ILP) $B$ für \problem{Max-SAT}: +Es ergibt sich also das folgende ganzahlige lineare Programm (ILP) $B$ für \maxsat: \begin{align*} \text{maximiere} &\quad\sum_{j=1}^{m} \hat{Z}_j\\ \text{gemäß} &\quad\sum_{x_i \in S_j^{\oplus}} \hat{x}_i + \sum_{x_i \in S_j^{\ominus}} \left(1 - \hat{x}_i\right) \ge \hat{Z}_j &\forall j\\ &\quad\hat{x}_i \in \{0, 1\} &\forall i\\ &\quad\hat{Z}_j \in \{0, 1\} &\forall j \end{align*} -Relaxiert man die Bedingungen, dass $\hat{x}_i, \hat{Z}_j \in \{0, 1\}$ gelten muss, und stellt fordert stattdessen $\forall i, j: 0\le \hat{x}_i, \hat{Z}_j \le 1$, kann das resultierende LP $B_\mathrm{rel}$ in Polynomzeit gelöst werden. Das LP selbst hat ebenfalls eine polynomiell beschränkte Anzahl an Bedingungen, sodass die Gesammtlaufzeit auch polynomiell beschränkt ist. +Relaxiert man die Bedingungen, dass $\hat{x}_i, \hat{Z}_j \in \{0, 1\}$ gelten muss, und stellt fordert stattdessen $\forall i, j: 0\le \hat{x}_i, \hat{Z}_j \le 1$, kann das resultierende LP $B_\rel$ in Polynomzeit gelöst werden. Das LP selbst hat ebenfalls eine polynomiell beschränkte Anzahl an Bedingungen, sodass die Gesammtlaufzeit auch polynomiell beschränkt ist. Durch die Relaxierung entsteht die folgende Beziehung (exemplarisch für ein Maximierungsproblem), die als Superoptimalität bezeichnet wird: \begin{equation*} - \opt(B_\mathrm{rel}) \ge \opt(B) = \opt(\Phi) + \opt(B_\rel) \ge \opt(B) = \opt(\Phi) \end{equation*} -Im Allgemeinen ist die rationale Lösung $\sigma_\mathrm{rel}$ von $B_\mathrm{rel}$ also keine zulässige Lösung für $B$. -Hierzu müssen die $\hat{x}_i$ auf 0 oder 1 (bzw. die $x$ auf \textsc{False} oder \textsc{True}) gerundet müssen. +Im Allgemeinen ist die rationale Lösung $\sigma_\rel$ von $B_\rel$ also keine zulässige Lösung für $B$. +Hierzu müssen die $\hat{x}_i$ auf 0 oder 1 (bzw. die $x$ auf \false{} oder \true{}) gerundet müssen. Eine Möglichkeit hierzu stellt der durch die stochastische Funktion $\phi: \left[0, 1\right] \mapsto \left[0, 1\right]$ parametrisierte Algorithmus $\algo{RandomizedRounding}[\pi]$ dar: -\begin{algorithmic}[] +\begin{algorithmic}[1] \For{$i = 1\dots n$} \State $x_i = \begin{cases*} - \textsc{True} & mit Wahrscheinlichkeit $\pi(\hat{x}_i)$\\ - \textsc{False} & mit Wahrscheinlichkeit $1 - \pi(\hat{x}_i)$\\ + \true{} & mit Wahrscheinlichkeit $\pi(\hat{x}_i)$\\ + \false{} & mit Wahrscheinlichkeit $1 - \pi(\hat{x}_i)$\\ \end{cases*}$ \EndFor \State \Return $b_B = (x_1,\dots,x_n)$ \end{algorithmic} -Damit kann dann der Algorithmus $B$ gebildet werden, der \problem{Max-SAT} approximiert: -\begin{algorithmic}[] - \State konstruiere das LP $B_\mathrm{rel}$ zur Eingabe $\Phi$ - \State ermittle die rationale Lösung $b_\mathrm{rel}$ von $B_\mathrm{rel}$ - \State \Return \Call{$\algo{RandomizedRounding}[\pi(x) = x]$}{$b_\mathrm{rel}$} +Damit kann dann der Algorithmus $B$ gebildet werden, der \maxsat{} approximiert: +\begin{algorithmic}[1] + \State konstruiere das LP $B_\rel$ zur Eingabe $\Phi$ + \State ermittle die rationale Lösung $b_\rel$ von $B_\rel$ + \State \Return \Call{$\algo{RandomizedRounding}[\pi(x) = x]$}{$b_\rel$} \end{algorithmic} \begin{satz} @@ -721,7 +770,7 @@ Damit kann dann der Algorithmus $B$ gebildet werden, der \problem{Max-SAT} appro \end{equation*} \end{satz} \begin{satz} - Mit der bekannten Abschätzung $1 - \left(1 - \frac{1}{k}\right)^k \ge 1 -\frac{1}{e}$ für alle $k \in \mathbb{N}$ + Mit der bekannten Abschätzung $1 - \left(1 - \frac{1}{k}\right)^k \ge 1 -\frac{1}{e}$ für alle $k \in \naturals$ beträgt die erwartete Anzahl an erfüllten Klauseln von Algorithmus $B$ bei einer Eingabe $\Phi$ in KNF mindestens $\left(1 - \frac{1}{e}\right)\cdot\opt(\Phi) \approx 0.632\cdot\opt(\Phi)$. Algorithmus $B$ hat also eine erwartete relative Güte von @@ -739,14 +788,14 @@ Aus den bestimmten Gütegarantien lässt sich ablesen, dass Algorithmus $A$ beso Beide Verfahren können nun automatisch kombiniert werden, um eine insgesamt bessere Gütegarantie zu erreichen. Dier erste Möglichkeit hierzu ist der Algorithmus $C_{p_A}$: -\begin{algorithmic}[] +\begin{algorithmic}[1] \State \Return $\begin{cases*} A(\Phi) & mit Wahrscheinlichkeit $p_A$\\ B(\Phi) & mit Wahrscheinlichkeit $1 - p_A$ \end{cases*}$ \end{algorithmic} Alternativ startet der Algorithmus $C_\mathrm{alle}$ immer beide Algorithmen: -\begin{algorithmic}[] +\begin{algorithmic}[1] \State $b_A = A(\Phi)$ \State $b_B = B(\Phi)$ \State \Return $\max\{b_A, b_B\}$ @@ -777,20 +826,24 @@ Es gilt offensichtlich \begin{equation*} Die Ansätze mancher randomisierten Algorithmen können so modifiziert werden, dass sie deterministisch ein Ergebnis zurückliefern, was mindestens so gut wie der Erwartungswert des nicht-deterministischen Algorithmus ist. Man macht sich hierbei unter anderem die Eigenschaft des randomisierten Algorithmus zu Nutze, dass der Erwartungswert auch ohne wirkliche Ausführung des Algorithmus berechenbar ist. -Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} benutzt den Erwartungswert für Algorithmus $A$ um nach und nach alle Variablen $x_i$ zu belegen. Für jede Variable wird einmal \textsc{True} und \textsc{False} eingesetzt, dann mit der resultierenden Formel mit höherem Erwartungswert fortgefahren: -\begin{algorithmic}[] +Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} benutzt den Erwartungswert für Algorithmus $A$ um nach und nach alle Variablen $x_i$ zu belegen. Für jede Variable wird einmal \true{} und \false{} eingesetzt, dann mit der resultierenden Formel mit höherem Erwartungswert fortgefahren: +\begin{algorithmic}[1] \For{$i = 1\dots n(I)$} - \State $W_\textsc{False} = E\left[A(I)\mid x_1,\dots,x_{i-1}, x_i = \textsc{False}\right]$ - \State $W_\textsc{True} = E\left[A(I)\mid x_1,\dots,x_{i-1}, x_i = \textsc{True}\right]$ - \If{$W_\textsc{False} < W_\textsc{True}$} - \State $x_i = \textsc{True}$ + \State $W_\false{} = E\left[A(I)\mid x_1,\dots,x_{i-1}, x_i = \false{}\right]$ + \State $W_\true{} = E\left[A(I)\mid x_1,\dots,x_{i-1}, x_i = \true{}\right]$ + \If{$W_\false{} < W_\true{}$} + \State $x_i = \true{}$ \Else - \State $x_i = \textsc{False}$ + \State $x_i = \false{}$ \EndIf \EndFor \State \Return $b = (x_1, \dots, x_{n(I)})$ \end{algorithmic} \begin{satz} - Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} approximiert \problem{Max-SAT} mit relativer Worst-Case-Güte $\rho_{\algo{Derand\_}A} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^k}}$ in Polynomzeit. + Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} approximiert \maxsat mit relativer Worst-Case-Güte $\rho_{\algo{Derand\_}A} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^k}}$ in Polynomzeit. \end{satz} + +\section{Approximation durch Lineare Optimierung} +Die zum Lösen eines LP mit $k$ Variablen benötigte Zeit wird im Folgenden als $L\left(\abs{\mathrm{LP}}, k\right)$ bezeichnet. +Sie liegt in der Größenordnung $\bigO()$ \end{document}