diff --git a/zusammenfassung.pdf b/zusammenfassung.pdf index 9be154e..5323396 100644 Binary files a/zusammenfassung.pdf and b/zusammenfassung.pdf differ diff --git a/zusammenfassung.tex b/zusammenfassung.tex index c439290..8e71fde 100644 --- a/zusammenfassung.tex +++ b/zusammenfassung.tex @@ -209,7 +209,7 @@ Die hierbei verwendete Vorgehensweise einer Selbstreduktion sowie das \enquote{A \begin{equation*} \rho_A(I) = \max\left\{\frac{A(I)}{\opt(I)}, \frac{\opt(I)}{A(i)}\right\} \ge 1 \end{equation*} - \item Die relative worst-case-Güte von $A$ ist die Funktion + \item Die relative Worst-Case-Güte von $A$ ist die Funktion \begin{equation*} \rho_A^\mathrm{wc}(n) = \max\left\{\rho_A(I)\mid I \in \mathcal{D}, \abs{i}\le n\right\} \end{equation*} @@ -772,4 +772,25 @@ Es gilt offensichtlich \begin{equation*} &= \frac{3}{4}\sum_{j=1}^{m} \hat{Z}_j \ge \frac{3}{4}\cdot \opt(\Phi) \end{align*} \end{proof} + +\subsection{Derandomisierung durch die Methode der bedingten Erwartungswerte} +Die Ansätze mancher randomisierten Algorithmen können so modifiziert werden, dass sie deterministisch ein Ergebnis zurückliefern, was mindestens so gut wie der Erwartungswert des nicht-deterministischen Algorithmus ist. +Man macht sich hierbei unter anderem die Eigenschaft des randomisierten Algorithmus zu Nutze, dass der Erwartungswert auch ohne wirkliche Ausführung des Algorithmus berechenbar ist. + +Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} benutzt den Erwartungswert für Algorithmus $A$ um nach und nach alle Variablen $x_i$ zu belegen. Für jede Variable wird einmal \textsc{True} und \textsc{False} eingesetzt, dann mit der resultierenden Formel mit höherem Erwartungswert fortgefahren: +\begin{algorithmic}[] + \For{$i = 1\dots n(I)$} + \State $W_\textsc{False} = E\left[A(I)\mid x_1,\dots,x_{i-1}, x_i = \textsc{False}\right]$ + \State $W_\textsc{True} = E\left[A(I)\mid x_1,\dots,x_{i-1}, x_i = \textsc{True}\right]$ + \If{$W_\textsc{False} < W_\textsc{True}$} + \State $x_i = \textsc{True}$ + \Else + \State $x_i = \textsc{False}$ + \EndIf + \EndFor + \State \Return $b = (x_1, \dots, x_{n(I)})$ +\end{algorithmic} +\begin{satz} + Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} approximiert \problem{Max-SAT} mit relativer Worst-Case-Güte $\rho_{\algo{Derand\_}A} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^k}}$ in Polynomzeit. +\end{satz} \end{document}