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\DeclareMathOperator{\opt}{OPT}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}

\setlist[enumerate,1]{label={\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label={\alph*)}}

\title{Approximationsalgorithmen}
\author{Marco Ammon}
\date{\today}

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\g@addto@macro\bfseries{\boldmath}
\makeatother

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents
\clearpage
\section{Kombinatorisches Optimierungsproblem $\phi$}
\subsection{Definition}
\begin{align*}
	\mathcal{D} &= \text{Menge der Eingaben $I$}\\
	\mathcal{S}(I \in \mathcal{D}) &= \text{Menge der zur Eingabe $I$ zulässigen Lösungen}\\
	f: \mathcal{S}(I) \mapsto \mathbb{N}^{\neq 0} &= \text{Bewertungs-/Kosten-/Maßfunction}\\
	\mathrm{ziel} \in \{\min, \max\}
\end{align*}
\begin{itemize}
	\item Beschränkung auf natürliche Zahlen, weil Vergleich reeller Zahlen bislang nicht beweisbar schnell funktioniert.
	\item Ausschluss der 0 für spätere Definitionen sinnvoll (lässt sich durch Modifikation von $f$ in der Regel trivial erreichen)
\end{itemize}

Gesucht ist zu $I \in \mathcal{D}$ eine zulässige Lösung $\sigma_\mathrm{opt} \in \mathcal{S}(I)$, sodass
\begin{equation*}
	\opt(I) = f(\sigma_\mathrm{opt}) = \mathrm{ziel}\{f(\sigma) \mid \sigma \in \mathcal{S}(I) \}
\end{equation*}

\subsection{Beispiele}
TODO: TSP, Rucksackproblem, etc.

\section{$t(n)$-Zeit-Approximationsalgorithmus $A$}
Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe $\sigma_I^A \in \mathcal{S}(I)$. Es gilt die Schreibweise $A(I) = f(\sigma_I^A)$.

\section{Konstante Gütegarantie}
\subsection{Definition}
\begin{itemize}
	\item $A$ hat bei Eingabe $I$ absolute Güte von
	\begin{equation*}
	\kappa_A(I) = \abs{A(I) - \opt(I)}
	\end{equation*}
	\item Die absolute Worst-Case-Güte von $A$ abhängig von der Eingabelänge $n = \abs{I}$ ist die Funktion
	\begin{equation*}
		\kappa_A^{\mathrm{wc}}(n) = \max\{\kappa_A(I) \mid I \in \mathcal{D}, \abs{I} <= n\}
	\end{equation*}
	\item $A$ garantiert eine absolute Güte von $\kappa_A: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:
	\begin{equation*}
		\kappa_A^{\mathrm{wc}} \le \kappa_A(n)
	\end{equation*}
	\item $A$ hat eine absolute Abweichung von $\kappa'_A: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für unendlich viele $n$ gilt
	\begin{equation*}
		\kappa'_A(n) \le \kappa_A^{wc}(n)
	\end{equation*}
	Eine unendlich große Menge $\mathcal{D}' \subseteq \mathcal{D}$ heißt $\kappa'_A(n)$-Zeugenmenge gegen $A$, wenn für alle $I \in \mathcal{D}'$ gilt:
	\begin{equation*}
		\kappa_A(I) \ge \kappa'_A(\abs{I})
	\end{equation*}
\end{itemize}
\end{document}