\documentclass[11pt,a4paper]{scrartcl}
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%Anmerkungen am Rand
\newcommand{\siehe}[1]{\marginpar{\footnotesize \textit{#1}}}
\newcommand{\satz}[2]{\marginpar{\footnotesize \textit{Satz~#1 (#2)}}}
\newcommand{\defin}[2]{\marginpar{\footnotesize \textit{Def.~#1 (#2)}}}
\newcommand{\kor}[2]{\marginpar{\footnotesize \textit{Kor.~#1 (#2)}}}
\newcommand{\lem}[2]{\marginpar{\footnotesize \textit{Lem.~#1 (#2)}}}

%Abkürzungen für Symbole, Reduktionen, etc.
\newcommand{\app}{\ensuremath{\rightarrow_a}}
\newcommand{\norm}{\ensuremath{\rightarrow_n}}
\newcommand{\pteq}{\ensuremath{\overset{\cdot}{=}}}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definition}[section]

\title{Merkzettel für \enquote{Theorie der Programmierung}}
\author{Marco Ammon}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section*{Termersetzungssysteme}
\subsection*{Terminierung}
\subsubsection*{Polynomordnungen}
\subsection*{Konfluenz}
\subsection*{Critical Pairs}

\section*{$\lambda$-Kalkül}
\subsection*{Ungetypt}
\subsubsection*{Rekursion}
\subsubsection*{Auswertungsstrategien}
\begin{itemize}
	\item applikativ (\textit{leftmost-innermost}) \app \defin{3.13}{33}
	\begin{itemize}
		\item $\lambda x.t \app \lambda x.t'$, wenn $t \app t'$
		\item $ts \app t's$, wenn $t \app t'$
		\item $ts \app ts'$, wenn $s\app s'$ und $t$ normal ist
		\item $(\lambda x.t)s \app t\lbrack s/x\rbrack$, wenn $t$ und $s$ normal sind
		\item effizient
	\end{itemize}	
	\item normal (\textit{leftmost-outermost}) \norm \defin{3.14}{34}
	\begin{itemize}
		\item $(\lambda x.t) s \norm t\lbrack s/x\rbrack$
		\item $\lambda x.t \norm \lambda x.t'$, wenn $t\norm t'$
		\item $ts \norm t's$m wenn $t\norm t'$ und $t$ keine $\lambda$-Abstraktion ist
		\item $ts \norm ts'$, wenn $s\norm s'$ und $t$ normal und keine $\lambda$-Abstraktion ist
		\item terminiert immer, falls Normalform existiert (nach Standardisierungssatz) \satz{3.17}{35}
	\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection*{Einfach getypt $(\lambda \rightarrow)$}
\siehe{S. 39}\begin{itemize}
	\item Church: Annotation der Variablen mit Typen, nur herleitbare Terme hinschreibbar
	\item Curry: Alle Terme hinschreibbar, dann Aussondern der nicht typisierbaren
	\item Typregeln: \siehe{S. 39}
	\begin{itemize}
		\item \textbf{TODO}
	\end{itemize}
	\item Typisierungsprobleme \begin{itemize}
		\item Typcheck: \enquote{Gilt $\Gamma \vdash t:\alpha$?}
		\item Typinferenz: \enquote{Was ist das beste $\alpha$ / Existiert $\alpha$ mit $\Gamma \vdash t:\alpha$?}
		\item Type inhabitation: \enquote{Existiert $t$ mit $\Gamma t:\alpha$?}
	\end{itemize}
	\item Inversionslemma \lem{3.29}{41} \textbf{TODO}
	\item Typinferenz \siehe{S. 41}
	\begin{itemize}
		\item Typsubstitution $\sigma$ ist Lösung von $\Gamma  \vdash t:\alpha$, wenn $\Gamma\sigma \vdash t:\alpha\sigma$ herleitbar
		\item Substitutionen: $\sigma_1$ allgemeiner als $\sigma_2 \Leftrightarrow \exists \tau. \sigma_1\tau = \sigma_2$ \siehe{GLoIn, S. 38}
		\item Prinzipaltyp von $\Gamma, t$ ist $\sigma(a)$ für allgemeinste Lösung $\sigma$ von $\Gamma\vdash t:a$ ($a$ frisch)
		\item Algorithmus W (Hindley/Milner)
		\begin{itemize}
			\item Menge $PT$ von Typgleichungen
			\begin{align*}
			PT(\Gamma;x;\alpha) &= \lbrace a\pteq b \vert x:\beta \in \Gamma\rbrace\\
			PT(\Gamma; \lambda x.t; \alpha) &= PT((\Gamma;x:a);t;b) \cup \lbrace a\rightarrow b \pteq \alpha \rbrace\ \text{mit $a,b$ frisch}\\
			PT(\Gamma;ts;\alpha) &= PT(\Gamma; t; a\rightarrow \alpha ) \cup PT(\Gamma;s;a)\ \text{mit $a$ frisch}
			\end{align*}
			\item Typinferenz des Terms $u$ mit leerem Kontext:
			\begin{equation*}
				\upvarepsilon \coloneqq PT(\emptyset;u;a)
			\end{equation*}
			$\Rightarrow$ Prinzipaltyp von $u$: $\text{mgu}(\upvarepsilon)(a)$
		\end{itemize}
	\end{itemize}
\end{itemize}
\section*{Unifikationsalgorithmus (Martelli/Montanari)}
\begin{align*}
&S \cup \lbrace x \pteq x\rbrace &&\rightarrow S &&\text{(delete)}\\
&S \cup \lbrace f(E_1, \ldots, E_n) \pteq f(D_1, \ldots, D_n)\rbrace &&\rightarrow S \cup \lbrace E_1 \pteq D_1, \ldots, E_n \pteq D_n\rbrace &&\text{(decomp)}\\
&S \cup \lbrace f(E_1, \ldots, E_n) \pteq g(D_1, \ldots, D_k)\rbrace &&\rightarrow \bot \text{ (für $f \not = g$)} &&\text{(conflict)}\\
&S \cup \lbrace E \pteq x \rbrace &&\rightarrow S \cup \lbrace x \pteq E \rbrace \text{ (für $E$ keine Variable)} &&\text{(orient)}\\
&S \cup \lbrace x \pteq E \rbrace &&\rightarrow \begin{cases*}
\bot (\text{für }x \in FV(E), x\not = E) \\
S\lbrack E/x\rbrack \cup \lbrace x \pteq E\rbrace (\text{für }x\notin FV(E), x\in FV(S))
\end{cases*} && \text{ (occurs)/(elim)}
\end{align*}
\end{document}