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index 09d4146..af38f72 100644
--- a/verfahren.tex
+++ b/verfahren.tex
@@ -488,12 +488,90 @@
 	\end{itemize}
 \end{enumerate}
 
+\section{Schleifen}
+\subsection{Schleifeninvariante Anweisungen}
+\begin{itemize}
+	\item schleifeninvariante Instruktion: alle Operanden $v$ sind \begin{itemize}
+		\item konstant oder
+		\item nur außerhalb der Schleife berechnet oder
+		\item innerhalb der Schleife in \emph{einer} schleifeninvarianten Instruktion berechnet
+	\end{itemize}
+	\item Auffinden schleifeninvarianter Instruktionen: \begin{enumerate}
+		\item Identifikation natürlicher Schleifen
+		\item Berechnung der erreichenden Definitionen
+		\item Konstantenfaltung
+		\item Markierung aller konstanten Ausdrücke und Variablen, sowie alle Markierung, deren erreichende Definitionen außerhalb der Schleife liegen, als schleifeninvariant
+		\item Solange neue Markierungen auftreten: alle Instruktionen/Variablen als schleifeninvariant markieren, wenn \begin{itemize}
+			\item sie konstant sind oder
+			\item wenn alle erreichenden Definitionen außerhalb der Schleife liegen oder
+			\item wenn genau eine erreichende Definition existiert und diese als schleifeninvariant markiert ist
+		\end{itemize}
+	\end{enumerate}
+	\item Herausziehen von schleifeninvarianten (Teil-)Ausdrücken vor den Schleifenkopf unter Beachtung von Seiteneffekten/Fehlern immer möglich
+	\item Auswahl von herausziehbaren Zuweisungen: \begin{enumerate}
+		\item Berechnung der Dominanz, erreichenden Definitionen und Anwendung von Konstantenfaltung
+		\item Berechnung der invarianten Instruktionen
+		\item Bestimmung der Schleifenausgänge, also Knoten, die KFG-Nachfolger außerhalb der natürlichen Schleife besitzen
+		\item Alle Anforderungen an Zuweisungen müssen für Herausziehbarkeit gelten:\begin{itemize}
+			\item schleifeninvariant
+			\item in Grundblock, der alle Schleifenausgänge dominiert und alle die Variable nutzenden Blöcke strikt dominiert
+			\item einzige Zuweisung zu Variable in der ganzen Schleife
+		\end{itemize}
+		\item Herausziehen vor den Schleifenkopf in Breitensuchreihenfolge zur Bewahrung der Datenabhängigkeiten zwischen herausgezogenen Zuweisungen
+	\end{enumerate}
+	\item Sonderfall while-Schleife: Schleifenausgang wird von keinem anderen Grundblock in der Schleife dominiert, also keine herausziehbaren Zuweisungen in der Schleife $\rightarrow$ erst Umbau zu do-while-Schleife
+	\item Optimierung bei invariantem Test: Generierung einer eigenen Schleife für jeden Fall
+\end{itemize}
 
-\section{Induktionsvarianten und schleifeninvarianter Code}
+\subsection{Induktionsvariablen}
+\begin{itemize}
+	\item Induktionsvariable: Variable, die bei jeder Schleifeniteration um konstanten Wert inkrementiert oder dekrementiert wird
+	\item Einfache Induktionsvariable: Variable $x$, die nur durch $x = x \pm c$ mit schleifeninvariantem $c$ verändert wird
+	\item Abhängige Induktionsvariable: Variable $y$, die in der Schleife durch $y = a \cdot x \pm b$ mit schleifeninvarianten $a$ und $b$ als lineare Funktion aus Induktionsvariable $x$ berechnet wird
+	\item Berechnung der Familie einer einfachen Induktionsvariable $x$: Menge der Induktionsvariablen $y$, die mit linearer Funktion $y = c_1 \cdot x \pm c_2$ von $x$ mit schleifeninvarianten $c_1$ und $c_2$ abhängen: \begin{itemize}
+		\item Zuweisung der Form $y = c_1 \cdot x \pm c_2$
+		\item Zuweisung der Form $y = c_1 \cdot z \pm c_2$, wobei $z \in \mathrm{Familie}(x)$ und \begin{itemize}
+			\item keine Veränderung von $x$ zwischen Zuweisung zu $z$ und Zuweisung zu $y$
+			\item keine von außerhalb der Schleife erreichende Definition von $z$ erreicht Zuweisung zu $y$
+		\end{itemize}
+	\end{itemize}
+	\item Berechnungen der Tripel $(x, c_1, c_2)$ für alle Induktionsvariablen $y$ einer Schleife:\begin{enumerate}
+		\item Berechnung von Schleifeninvarianz und erreichenden Definitionen
+		\item Bestimmung aller einfachen Induktionsvariablen durch Code-Inspektion (\enquote{Pattern Matching})
+		\item Bestimmung aller Variablen $y$ mit einziger (oder identischen) Zuweisung der Form $y = x \pm c$ oder $y = c \cdot x$ mit $x$ Induktionsvariable und $c$ schleifeninvariant:\begin{itemize}
+			\item $x$ ist einfache Induktionsvariable:
+			\begin{equation*}
+				\mathrm{Tripel}(y) = \begin{cases*}
+					(x, 1, c) & falls $y = x + c$ oder $y = c + x$\\
+					(x, 1, -c)& falls $y = x - c$\\
+					(x, c, 0)& sonst ($y = x \cdot c$ oder $y = c \cdot x$)
+				\end{cases*}
+			\end{equation*}
+			\item $x$ ist abhängige Induktionsvariable mit Tupel $(u, d_1, d_2)$:
+			\begin{equation*}
+				\mathrm{Tripel}(y) = \begin{cases*}
+					(u, d_1, d_2 + c) & falls $y = x + c$ oder $y = c + x$\\
+					(u, d_1, d_2 - c) & falls $y = x - c$\\
+					(u, d_1 \cdot c, d_2 \cdot c_2) & sonst ($y = c \cdot x$ oder $y = x \cdot c$)
+				\end{cases*}
+			\end{equation*}
+		\end{itemize}
+	\end{enumerate}
+	\item Vereinfachung der Berechnungsvorschrift von Schleifenlaufvariablen pro Iteration (Reduktion der Ausdrucksstärke, \enquote{Strength Reduction}) für jede einfache Induktionsvariable $x$: \begin{enumerate}
+		\item Für jede von $x$ abhängige Induktionsvariable $y$ mit Tripel $(x, a, b)$:\begin{enumerate}
+			\item Einführung neuer Variable $y'$
+			\item Ersetzung der Zuweisung zu $y$ durch $y = y'$
+			\item Einfügen der Zuweisung $y' = y' \pm (a \cdot c)$ nach jeder Zuweisung $x = x \pm c$
+			\item Einfügen der Zuweisung $y' = x\cdot a + b$ vor dem Schleifenkopf
+		\end{enumerate}
+	\end{enumerate}
+	\item Modifikation von bedingten Sprüngen ggf. möglich
+	\item Verringerung der Anzahl von Array-Bereichstests ggf. möglich
+\end{itemize}
 
-\section{Schleifen und Arrays}
+\subsection{Schleifen und Arrays}
 
-\section{Schleifentransformationen}
+\subsection{Schleifentransformationen}
 
-\section{Schleifenrestrukturierungen}
+\subsection{Schleifenrestrukturierungen}
 \end{document}