diff --git a/verfahren.pdf b/verfahren.pdf
index ae12280..ac4401f 100644
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diff --git a/verfahren.tex b/verfahren.tex
index dea1b4c..a2bd5d0 100644
--- a/verfahren.tex
+++ b/verfahren.tex
@@ -724,12 +724,85 @@
 		\item kleinere Rümpfe passen besser in den Instruktionscache
 		\item ggf. kann eine der Schleifen parallelisiert/vektorisiert werden
 	\end{itemize}
-	\item Kachelschneiden
+	\item Kachelschneiden: \begin{itemize}
+		\item Aufteilen mehrerer geschachtelter Schleifen in Kacheln bestimmter Größe
+		\item Legalität: Wenn Schleifenvertauschungen legal sind
+		\item Verbesserung der Lokalität
+		\item Erlaubt Registerverwendung
+		\item Höherer Schleifenoverhead
+	\end{itemize}
 \end{itemize}
+
 \paragraph{Lineare Schleifenrestrukturierungen}
 \begin{itemize}
-	\item Schleifenvertauschung
-	\item Richtungsumkehr
-	\item Schleifenneigen
+	\item Schleifenvertauschung:\begin{itemize}
+		\item Innere Schleife wird zur äußeren
+		\item Erhalt der schleifenunabhängigen Datenabhängigkeiten
+		\item Tausch der Einträge der entsprechenden Dimensionen in Richtungsvektoren und Abhängigkeitsdistanzen der schleifengetragenen Datenabhängigkeiten
+		\item Legalität: Alle Abhängigkeitsdistanzen (vorher per Definition lexikographisch positiv) müssen auch danach positiv sein
+		\item Nach außen Ziehen der abhängigkeitstragenden Schleifen ermöglicht ggf. im Inneren parallelisierbare Schleife mit großer Breite
+		\item ggf. Verbesserung der räumlichen oder zeitlichen Lokalität
+		\item Korrektur der Indexbereiche bei nicht-rechteckigen Iterationsräumen (ggf. durch Fourier-Motzkin-Elimination)
+	\end{itemize}
+	\item Richtungsumkehr:\begin{itemize}
+		\item Inkrement- in Dekrementschleife umwandeln (oder vice versa)
+		\item Voraussetzung: alle Abhängigkeiten müssen von umgebender Schleife getragen werden
+		\item ggf. Ermöglichung weiterer Optimierungen wie Verschmelzung
+	\end{itemize}
+	\item Neigen:\begin{itemize}
+		\item Schleifenneigen:\begin{itemize}
+			\item Verschiebung des Array-Indexbereichs der inneren Schleife um $f \cdot i$ mit $f$ Neigungsfaktor und $i$ Iterationsvariable der äußeren Schleife
+			\item Abzug von $f \cdot i$ bei Verwendungen der inneren Iterationsvariable
+			\item Abhängigkeit $(d_1, d_2)$ wird zu $(d_1, d_2 + f \cdot d_1)$ $\rightarrow$ Ermöglichung weiterer Restrukturierungen
+		\end{itemize}
+	\end{itemize}
+	\item Allgemeiner Fall:\begin{itemize}
+		\item Transformation der Indexvektoren mit Matrix $U$ mit Eigenschaften (unimodular):\begin{itemize}
+			\item $U \in \mathbb{Z}^{n\times n}$
+			\item $\exists\, U^{-1} \in \mathbb{Z}^{n\times n}:\, U U^{-1} = I$
+			\item Hinreichende Bedingung: $\vert\mathrm{det}(U)\vert = 1$
+		\end{itemize}
+		\item Legalität: Für alle Abhängigkeitsdistanzen $d$ muss gelten $0 \angle d U$
+		\item Vertauschungsmatrix für Dimensionen 2 und 3: \begin{equation*}
+			U = \begin{psmallmatrix}
+			1 &  &  & \\
+			 & 0 & 1 & \\
+			 & 1 & 0 & \\
+			 &  &  & 1
+			\end{psmallmatrix}
+		\end{equation*}
+		\item Richtungsumkehrungsmatrix für Dimension 2: \begin{equation*}
+			U = \begin{psmallmatrix}
+			1 & 0\\
+			0 & -1
+			\end{psmallmatrix}
+		\end{equation*}
+		\item Neigungsmatrix für Faktor $f$ in Dimension 2:\begin{equation*}
+			U = \begin{psmallmatrix}
+			1 & f\\
+			0 & 1
+			\end{psmallmatrix}
+		\end{equation*}
+	\end{itemize}
+	\item Gezielte Konstruktion von Transformationsmatrix $U$ zur Ermöglichung bestimmter Optimierungen:\begin{itemize}
+		\item Matrix $D$ aus Abhängigkeitsdistanzvektoren
+		\item Gesucht: $U^{\mathrm{T}}$ mit $U^{\mathrm{T}} D^{\mathrm{T}} = D^{\mathrm{T}\prime}$, sodass $D^{\mathrm{T}\prime}$ Optimierungsanforderungen erfüllt
+	\end{itemize}\begin{enumerate}
+		\item Lineares Gleichungssystem $\left( I^{\mathrm{T}} \mid D^{\mathrm{T}} \right)$ zu $\left( U^{\mathrm{T}} \mid D^{\mathrm{T}\prime} \right)$ mit gewünschtem $D^{\mathrm{T}\prime}$ umformen
+		\item $U^{-1}$ aus $U$ bestimmen
+		\item Transformation der Verwendung der Iterationsvariablen $i, j, \textellipsis$ im Schleifenrumpf wie folgt:
+			\begin{equation*}
+			\begin{psmallmatrix}
+			i\\
+			j\\
+			\vdots
+			\end{psmallmatrix} = U^{-1} \begin{psmallmatrix}
+			i'\\
+			j'\\
+			\vdots
+			\end{psmallmatrix}
+			\end{equation*}
+		\item Anpassung der Schleifengrenzen für $i', j', \textellipsis$ mit Fourier-Motzkin, bei innerster Schleife beginnend
+	\end{enumerate}
 \end{itemize}
 \end{document}