Fehlerbehebung

zusammenfassung.tex

@@ -155,7 +155,8 @@ Gesucht ist zu $I \in \domain$ eine zulässige Lösung $\sigma_\mathrm{opt} \in
 
 \subsubsection{Das Rucksackproblem \rucksack}
 \begin{align*}
-	\domain &= \{\encoded*{ W, \vol, p, B} \mid  \{1, \dots, n\}, \vol: W \mapsto \naturals, p: W\mapsto \naturals, B \in \naturals, \forall w \in W: vol(w) \le B\}\\
+	\domain &= \{\encoded*{ W, \vol, p, B} \mid  W = \{1, \dots, n\}, \vol: W \mapsto \naturals, p: W\mapsto \naturals, B \in \naturals,\\
+	&\qquad \forall w \in W: vol(w) \le B\}\\
 	\solution(\encoded*{ W, \vol, p, B}) &= \{ A \subseteq W \mid \sum_{w\in A}\vol(w) \le B\}\\
 	f(A) &= \sum_{w\in A} p_w\\
 	\ziel &= \max
@@ -192,7 +193,7 @@ Die Größe der kleinsten möglichen Kantenfärbung ist der chromatische Index $
 \subsubsection{Das metrische Traveling-Salesperson-Problem $\deltatsp$}
 \begin{align*}
 	\domain &= \{\encoded*{ K_n, c} \mid K_n\, \text{vollständiger Graph auf $n$ Knoten}, c: E \mapsto \naturals,\\
-				&\underbrace{\forall u, v, w \in V: c(u,v) \le c(u,w) + c(w, v)}_\text{Dreiecksungleichung}\}\\
+				&\forall u, v, w \in V: \underbrace{c(u,v) \le c(u,w) + c(w, v)}_\text{Dreiecksungleichung}\}\\
 	\solution(\encoded*{ K_n, c }) &= \{ C \mid C = (v_{i_1}, v_{i_2}, \dots, v_{i_n}, v_{i_i})\,\text{ist ein Hamiltonkreis}\}\\
 	f(c_\edges) &= c(v_{i_n}, v_{i_1}) + \sum_{j=1}^{n-1} c(v_{i_j}, v_{i_{j+1}})\\
 	\ziel &= \min
@@ -312,7 +313,7 @@ Ein planarer Graph kann so auf einer Kugel dargestellt werden, dass sich keine s
 	\begin{equation*}
 	\kappa_A(I) = \abs*{A(I) - \opt(I)}
 	\end{equation*}
-	\item Die absolute Worst-Case-Güte von $A$ abhängig von der Eingabelänge $n = \abs*{I}$ ist die Funktion
+	\item Die absolute Worst-Case-Güte von $A$ ist die Funktion
 	\begin{equation*}
 		\kappa_A^{\mathrm{wc}}(n) = \max\{\kappa_A(I) \mid I \in \domain, \abs*{I} \le n\}
 	\end{equation*}
@@ -344,7 +345,7 @@ Ein planarer Graph kann so auf einer Kugel dargestellt werden, dass sich keine s
 	Eine zulässige Lösung $\sigma$ für $I$ ist auch eine zulässige Lösung für $I'$. Gleiches gilt aufgrund der Monotonie der Multiplikation auch für optimale Lösungen.
 	Durch die Multiplikation aller Preise mit $k + 1$ beträgt die \enquote{Lücke} zwischen den optimalen und der ersten nicht-optimalen Lösung für $I'$ mindestens $k + 1$.
 	
-	Da $A$ eine absolute Güte von $k$ garantiert und in Polynomzeit terminiert, kann es nur eine optimale Lösung für $I'$, welche auf optimal für $I$ ist, zurückgeben. Damit ist das $NP$-vollständige \rucksack{} in Polynomzeit exakt lösbar.
+	Da $A$ eine absolute Güte von $k$ garantiert und in Polynomzeit terminiert, kann es nur eine optimale Lösung für $I'$, welche auch optimal für $I$ ist, zurückgeben. Damit ist das $NP$-vollständige \rucksack{} in Polynomzeit exakt lösbar.
 \end{proof}
 
 Die hierbei verwendete Vorgehensweise einer Selbstreduktion sowie das \enquote{Aufblasen} des Problems (\enquote{Scaling}, \enquote{Gap Amplification}) lässt sich auch auf viele andere Probleme wie etwa \setcover{} anwenden. Folglich kann eine konstante Gütegarantie nur für vergleichsweise wenig Probleme erreicht werden.
@@ -894,7 +895,7 @@ Es ergibt sich also das folgende ganzahlige lineare Programm (ILP) $B$ für \max
 	&\quad\hat{x}_i \in \{0, 1\} &\forall i\\
 	&\quad\hat{Z}_j \in \{0, 1\} &\forall j
 \end{align*}
-Relaxiert man die Bedingungen, dass $\hat{x}_i, \hat{Z}_j \in \{0, 1\}$ gelten muss, und stellt fordert stattdessen $\forall i, j: 0\le \hat{x}_i, \hat{Z}_j \le 1$, kann das resultierende LP $B_\rel$ in Polynomzeit gelöst werden. Das LP selbst hat ebenfalls eine polynomiell beschränkte Anzahl an Bedingungen, sodass die Gesammtlaufzeit auch polynomiell beschränkt ist.
+Relaxiert man die Bedingungen, dass $\hat{x}_i, \hat{Z}_j \in \{0, 1\}$ gelten muss, und fordert stattdessen $\forall i, j: 0\le \hat{x}_i, \hat{Z}_j \le 1$, kann das resultierende LP $B_\rel$ in Polynomzeit gelöst werden. Das LP selbst hat ebenfalls eine polynomiell beschränkte Anzahl an Bedingungen, sodass die Gesammtlaufzeit auch polynomiell beschränkt ist.
 
 Durch die Relaxierung entsteht die folgende Beziehung (exemplarisch für ein Maximierungsproblem), die als Superoptimalität bezeichnet wird:
 \begin{equation*}
@@ -1047,7 +1048,7 @@ Dann bezeichnet
 die Ganzzahligkeitslücke (\enquote{integrality gap}) der Relaxierung.
 
 Für das LP $B_\rel$ für \maxsat{} bestimmt sich die Ganzzahligkeitslücke aus der booleschen $(2,4)$-Formel $\Phi = (x_1 \lor x_2) \land (\overline{x_1} \lor x_2) \land (x_1 \lor \overline{x_2}) \land (\overline{x_1} \lor \overline{x_2})$:
-$\opt(\phi) = 3$, aber $\opt(B_\rel) = 4$. Damit folgt $\gamma \le \frac{4}{3}$.
+$\opt(\Phi) = 3$, aber $\opt(B_\rel) = 4$. Damit folgt $\gamma \le \frac{4}{3}$.
 
 Allgemein folgen mit $\gamma \ge \frac{\opt(X_\rel)}{\opt(X)}$ die beiden Aussagen
 \begin{align*}