DetRoundSC für SetCover

zusammenfassung.tex

@@ -86,6 +86,7 @@
 % Set-Cover
 \newcommand{\setcover}{\problem{SetCover}}
 \newcommand{\cov}{\mathrm{cov}}
+\newcommand{\detroundsc}{\algo{DetRoundSC}}
 
 % Beweisumgebungen
 \newtheorem*{satz}{Satz}
@@ -908,4 +909,34 @@ Damit lautet das ILP $X$ für \setcover:
 		\gamma \ge \frac{1}{2}\cdot \log n
 	\end{equation*}
 \end{satz}
+
+\subsection{Deterministisches Runden mit \detroundsc}
+\begin{algorithmic}[1]
+	\State $(x_1, \dots, x_m) = $ löse $X_\rel$
+	\State $S_\cov = \emptyset$
+	\For{$I = 1\dots m$}
+		\If{$x_i \ge \frac{1}{\Delta_S}$}
+			\State $S_\cov = S_\cov \cup \{S_i\}$
+		\EndIf
+	\EndFor
+	\State \Return $S_\cov$
+\end{algorithmic}
+
+\begin{satz}
+	\detroundsc{} berechnet für eine Instanz $S$ von \setcover{} in Zeit $\bigO(m + L(nm, m))$ eine Überdeckung.
+	Ferner gilt $\detroundsc(S) \le \Delta_S \cdot \opt(S)$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Zu einem beliebigen Objekt $u\in V$ gehört die Nebenbedingung $\sum_{i: u \in S_i} x_i \ge 1$ mit $\degree_S(u)$ Summanden.
+	Mit einem Durchschnittsargument kann jetzt also gefolgert werden, dass für einen der Summanden $x_i$ gilt:
+	\begin{equation*}
+		x_i \ge \frac{1}{\degree_S(u)} \ge \frac{1}{\Delta_S}
+	\end{equation*}
+	Damit wird für jedes $u$ mindestens ein überdeckendes $S_i$ aufgenommen, also stellt die Ausgabe eine Überdeckung dar.
+	
+	Weil für jede Gruppe $S_i \in S_\cov$ $\Delta_s \cdot x_i \ge 1$ gilt, folgt für die Qualität der Ausgabe
+	\begin{equation*}
+		\detroundsc(S) = \abs{S_\cov} \le \sum_{i=1}^{m} \Delta_s \cdot x_i =\Delta_S \cdot \sum_{i=1}^{m} x_i = \Delta_S \cdot \opt(X_\rel) \le \Delta_S \cdot \opt(S)
+	\end{equation*}
+\end{proof}
 \end{document}