Marco/Approximationsalgorithmen
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RandRoundSC[r]

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Marco Ammon
2020-10-15 17:29:40 +02:00
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@@ -86,7 +86,9 @@
\newcommand{\setcover}{\problem{SetCover}}
\newcommand{\cov}{\mathrm{cov}}
\newcommand{\detroundsc}{\algo{DetRoundSC}}
\newcommand{\randroundingscr}{\algo{RandRoundingSC}[r]}
\newcommand{\randroundscr}{\algo{RandRoundSC}[r]}
\newcommand{\lasvegassc}{\algo{LasVegasSC}}
\newcommand{\lasvegasscr}{\lasvegassc[r]}
% Beweisumgebungen
\newtheorem*{satz}{Satz}
@@ -940,7 +942,7 @@ Damit lautet das ILP $X$ für \setcover:
\end{equation*}
\end{proof}
\subsection{Unzuverlässiges Randomized Rounding mit $\randroundingscr$}
\subsection{Unzuverlässiges Randomized Rounding mit $\randroundscr$}
\begin{algorithmic}[1]
\State $(x_1, \dots, x_m) =$ löse $X_\rel$
\State $\chi = \emptyset$
@@ -949,10 +951,10 @@ Damit lautet das ILP $X$ für \setcover:
\EndFor
\State \Return $\chi$
\end{algorithmic}
\randroundingscr{} ist ein sogenannter Monte-Carlo-Algorithmus, weil er auch nicht zulässige Lösungen zurückliefern kann.
\randroundscr{} ist ein sogenannter Monte-Carlo-Algorithmus, weil er auch nicht zulässige Lösungen zurückliefern kann.
\begin{satz}
Für eine Eingabe $S$ von \setcover{} sei $\chi$ die Ausgabe von $\randroundingscr$. Dann gelten
Für eine Eingabe $S$ von \setcover{} sei $\chi$ die Ausgabe von $\randroundscr$. Dann gelten
\begin{enumerate}
\item $P\left[\chi\,\text{ist eine Überdeckung}\right] \ge 1 - n \cdot e^{-r}$
\item $E\left[\abs{\chi}\right] \le r \cdot \opt(S)$
@@ -976,4 +978,39 @@ Damit lautet das ILP $X$ für \setcover:
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{proof}
\subsection{Las-Vegas-Algorithmus $\lasvegasscr$ für zuverlässig zulässige Lösungen}
\begin{algorithmic}[1]
\State löse das LP $X_\rel$
\State $\tau = 0$
\Repeat
\State $\chi = \randroundscr(S)$
\State $\tau = \tau + 1$
\Until{$V(\chi) = V$}
\State \Return $S_\cov = \chi$
\end{algorithmic}
Das LP $X_\rel$ wird dabei nur einmal und nicht erneut in $\randroundscr{}$ gelöst.
$\lasvegasscr$ ist ein sogenannter Las-Vegas-Algorithmus, weil er immer eine zulässige Lösung zurückliefert, seine Laufzeit allerdings zufällig ist.
\begin{satz}
Sei $S$ eine Eingabe von \setcover{} und gelte $r > \ln n$. Für \lasvegasscr{} gelten dann
\begin{enumerate}
\item $S_\cov$ ist eine Überdeckung mit erwarteter Größe von höchstens $r \cdot \opt(S)$.
\item Die erwartete Anzahl der Iterationen der Repeat-Schleife ist höchstens $\frac{e^{2r}}{\left(n - e^{r}\right)^2}$.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Das Ergebnis folgt direkt aus der Analyse von \randroundscr.
\item \begin{align*}
E\left[\tau\right] &= \sum_{t=1}^\infty t \cdot P\left[\text{erst die $t$. Wiederholdung ist eine Überdeckung}\right]\\
&\le \sum_{t=1}^\infty t\cdot P\left[\text{ $t - 1$ Wiederholdungen sind keine Überdeckung}\right]\\
&\le \sum_{t=1}^\infty t\cdot \left(n\cdot e^{-r}\right)^{t-1} \overset{\text{Konvergenz durch}\, r > \ln n}{=} \frac{e^{2r}}{\left(n - e^r\right)^2}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{satz}
$\lasvegassc[\ln n + 1]$ garantiert eine relative erwartete Güte von $\ln n + 1$. Der Erwartungswert für die Anzahl der Iterationen der Schleife ist $\left(\frac{e}{e - 1}\right)^2 < 2.503$.
\end{satz}
\end{document}