Unmöglichkeitsergebnis Rucksackproblem mit absoluter Güte

zusammenfassung.tex

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 \newtheorem*{zeuge}{Zeuge}
 
 \newcommand*{\algo}[1]{\textsc{#1}}
+\newcommand*{\problem}[1]{\textsc{#1}}
 
 \setlist[enumerate,1]{label={\arabic*.}}
 \setlist[enumerate,2]{label={\alph*)}}
@@ -99,6 +100,25 @@ Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe
 	\end{equation*}
 \end{itemize}
 
+\subsection{Unmöglichkeitsergebnis für das Rucksackproblem}
+\begin{satz}
+	Falls $P \neq NP$, dann gibt es keine Konstante $n\in \mathbb{N}$, sodass es einen polynomiellen Approximationsalgorithmus $A$ für das Rucksackproblem gibt mit
+	\begin{equation*}
+		\abs{A(I) - \opt(I)}  \le k
+	\end{equation*}
+\end{satz}
+\begin{proof}[Widerspruchsbeweis]
+	Unter der Annahme, dass $A$ und $k$ existieren, kann \problem{Rucksack} in Polynomzeit exakt gelöst werden, was $P = NP$ zur Folge hat:
+	
+	Konstruiere aus einer Instanz $I = \langle W, \mathrm{vol}, p, B \rangle$ eine neue Probleminstanz $I' = \langle W, \mathrm{vol}, p', B\rangle$ mit $p'(w) = (k + 1) \cdot p(w)$.
+	Eine zulässige Lösung $\sigma$ für $I$ ist auch eine zulässige Lösung für $I'$. Gleiches gilt aufgrund der Monotonie der Multiplikation auch für optimale Lösungen.
+	Durch die Multiplikation aller Preise mit $k + 1$ beträgt die \enquote{Lücke} zwischen den optimalen und der ersten nicht-optimalen Lösung für $I'$ mindestens $k + 1$.
+	
+	Da $A$ eine absolute Güte von $k$ garantiert und in Polynomzeit terminiert, kann es nur eine optimale Lösung für $I'$, welche auf optimal für $I$ ist, zurückgeben. Damit ist das $NP$-vollständige \problem{Rucksack} in Polynomzeit exakt lösbar.
+\end{proof}
+
+Die hierbei verwendete Vorgehensweise einer Selbstreduktion sowie das \enquote{Aufblasen} des Problems (\enquote{Scaling}, \enquote{Gap Amplification}) lässt sich auch auf viele andere Probleme wie etwa \problem{SetCover} anwenden. Folglich kann eine konstante Gütegarantie nur für vergleichsweise wenig Probleme erreicht werden.
+
 
 \section{Graphfärbbarkeit}
 \subsection{Knotenfärbungsproblem}