Ganzzahligkeitslücke

zusammenfassung.tex

@@ -840,10 +840,40 @@ Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} benutzt den Erwartungswert für Algorithmus $
 	\State \Return $b = (x_1, \dots, x_{n(I)})$
 \end{algorithmic}
 \begin{satz}
-	Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} approximiert \maxsat mit relativer Worst-Case-Güte $\rho_{\algo{Derand\_}A} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^k}}$ in Polynomzeit.
+	Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} approximiert \maxsat mit relativer Worst-Case-Güte $\rho_{\algo{Derand\_}A}^{\mathrm{wc}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^k}}$ in Polynomzeit.
 \end{satz}
 
 \section{Approximation durch Lineare Optimierung}
 Die zum Lösen eines LP mit $k$ Variablen benötigte Zeit wird im Folgenden als $L\left(\abs{\mathrm{LP}}, k\right)$ bezeichnet.
-Sie liegt in der Größenordnung $\bigO()$
+Sie liegt in der Größenordnung $\bigO(k^4 \cdot \abs{\encoded{\mathrm{LP}}}^2)$.
+
+\subsection{Ganzzahligkeitslücke}
+Der für \maxsat{} gewählte Ansatz lässt sich im Prinzip auch auf verschiedenste andere kombinatorische Optimierungsprobleme $\Pi$ anwenden. Verallgemeinert bezeichnet man ihn als Rundungsansatz (exemplarisch für Maximierungsprobleme):
+\begin{enumerate}
+	\item Beschreibung der Instanz $I$ von $\Pi$ durch ein ganzzahliges Lineares Programm $X$, was als Arithmetisierung bezeichnet wird.
+	Es gilt damit $\opt(I) = \opt(X)$.
+	\item Fallenlassen der Ganzzahligkeitsbedingung (Relaxierung), sodass das entstandene Lineare Programm $X_\rel$ in Polynomzeit lösbar ist.
+	Durch die Superoptimalität gilt $\opt(X_\rel) \ge \opt(X)$.
+	\item Der Approximationsalgorithmus $A$ löst $X_\rel$ und rundet die rationalen Lösungen geschickt zu einer zulässigen Lösung $\sigma \in \solution(I)$.
+	\item Beweis, dass $A(I) \ge \frac{1}{\rho}\cdot \opt(X_\rel)$ gilt.
+	\item Aus der Superoptimalität folgt $A(I) \ge \frac{1}{p}\cdot \opt(I)$.
+\end{enumerate}
+
+Für ein kombinatorisches Maximierungsproblem $\Pi$ mit Eingaben $I \in \domain$ sei $X$ jeweils das äquivalente ILP und $X_\rel$ jeweils das relaxierte LP.
+Dann bezeichnet 
+\begin{equation*}
+	\gamma = \max\left\{\frac{\opt(X_\rel)}{\opt(X)} \mid I\in \domain \right\}
+\end{equation*}
+die Ganzzahligkeitslücke (\enquote{integrality gap}) der Relaxierung.
+
+Für das LP $B_\rel$ für \maxsat{} bestimmt sich die Ganzzahligkeitslücke aus der booleschen $(2,4)$-Formel $\Phi = (x_1 \lor x_2) \land (\overline{x_1} \lor x_2) \land (x_1 \lor \overline{x_2}) \land (\overline{x_1} \lor \overline{x_2})$:
+$\opt(\phi) = 3$, aber $\opt(B_\rel) = 4$. Damit folgt $\gamma \le \frac{4}{3}$.
+
+Allgemein folgen mit $\gamma \ge \frac{\opt(X_\rel)}{\opt(X)}$ die beiden Aussagen
+\begin{align*}
+	A(I) &\ge \frac{\gamma}{\rho}\cdot \opt(I)\\
+	\rho &\gamma
+\end{align*}
+
+Daraus kann geschlossen werden, dass der Rundungsansatz die Ganzzahligkeitslücke nicht überwinden kann und Modellierung in LP mit geringer Ganzzahligkeitslücke wichtig ist.
 \end{document}