Zusammenfassung von Kapitel 1

zusammenfassung.tex

@@ -0,0 +1,71 @@
+% !TeX spellcheck = de_DE
+\documentclass[11pt,a4paper,toc]{scrartcl}
+\usepackage[a4paper,left=2.5cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{scrextend}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage[load=named]{siunitx}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage[hidelinks]{hyperref}
+%\usepackage{listings}
+\usepackage{algorithmicx}
+\usepackage{algpseudocode}
+%\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{tikz}
+%\usetikzlibrary{positioning}
+%\usetikzlibrary{arrows.meta}
+%\usetikzlibrary{quotes}
+%\usetikzlibrary{angles}
+%\usetikzlibrary{babel}
+%\usetikzlibrary{fit}
+%\usepackage{datetime}
+%\usepackage{xcolor}
+
+\DeclareMathOperator{\opt}{\mathrm{OPT}}
+\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
+
+\setlist[enumerate,1]{label={\arabic*.}}
+\setlist[enumerate,2]{label={\alph*)}}
+
+\title{Approximationsalgorithmen}
+\author{Marco Ammon}
+\date{\today}
+
+\makeatletter
+\g@addto@macro\bfseries{\boldmath}
+\makeatother
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\tableofcontents
+\clearpage
+\section{Grundlegende Definitionen}
+\subsection{Kombinatorisches Optimierungsproblem $\phi$}
+\begin{align*}
+	\mathcal{D} &= \text{Menge der Eingaben $I$}\\
+	\mathcal{S}(I \in \mathcal{D}) &= \text{Menge der zur Eingabe $I$ zulässigen Lösungen}\\
+	f: \mathcal{S}(I) \mapsto \mathbb{N}^{\neq 0} &= \text{Bewertungs-/Kosten-/Maßfunction}\\
+	\mathrm{ziel} \in \{\min, \max\}
+\end{align*}
+\begin{itemize}
+	\item Beschränkung auf natürliche Zahlen, weil Vergleich reeller Zahlen bislang nicht beweisbar schnell funktioniert.
+	\item Ausschluss der 0 für spätere Definitionen sinnvoll (lässt sich durch Modifikation von $f$ in der Regel trivial erreichen)
+\end{itemize}
+
+Gesucht ist zu $I \in \mathcal{D}$ eine zulässige Lösung $\sigma_\mathrm{opt} \in \mathcal{S}(I)$, sodass
+\begin{equation*}
+	\opt(I) = f(\sigma_\mathrm{opt}) = \mathrm{ziel}\{f(\sigma) \mid \sigma \in \mathcal{S}(I) \}
+\end{equation*}
+
+\subsubsection{Beispiele}
+TODO: TSP, Rucksackproblem, etc.
+
+\subsection{$t(n)$-Zeit-Approximationsalgorithmus $A$}
+Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs I \abs)$ eine Ausgabe $\sigma_I^A \in \mathcal{S}(I)$. Es gilt die Schreibweise $A(I) = f(\sigma_I^A)$.
+
+\end{document}