Umsortierung -> zuerst Definitionen, dann Probleme und Algorithmen
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Marco Ammon
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e27c1ab651
Binary file not shown.
@ -121,8 +121,70 @@ Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe
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Die hierbei verwendete Vorgehensweise einer Selbstreduktion sowie das \enquote{Aufblasen} des Problems (\enquote{Scaling}, \enquote{Gap Amplification}) lässt sich auch auf viele andere Probleme wie etwa \problem{SetCover} anwenden. Folglich kann eine konstante Gütegarantie nur für vergleichsweise wenig Probleme erreicht werden.
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\section{Relative Gütegarantie}
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\subsection{Definition}
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\begin{enumerate}
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\item $A$ hat bei Eingabe $I$ eine relative Güte von
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\begin{equation*}
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\rho_A(I) = \max\left\{\frac{A(I)}{\opt(I)}, \frac{\opt(I)}{A(i)}\right\} \ge 1
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\end{equation*}
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\item Die relative worst-case-Güte von $A$ ist die Funktion
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\begin{equation*}
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\rho_A^\mathrm{wc}(n) = \max\left\{\rho_A(I)\mid I \in \mathcal{D}, \abs{i}\le n\right\}
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\end{equation*}
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\item $A$ garantiert eine relative Güte von $\rho_A : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt
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\begin{equation*}
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\rho_A^{\mathrm{wc}}(n) \le \rho_A(n)
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\end{equation*}
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\item $A$ macht für die Eingabe $I \in \mathcal{D}$ einen relativen Fehler von
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\begin{equation*}
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\varepsilon_A(I) = \frac{\abs{A(I) - \opt(I)}}{\opt(I)} = \abs{\frac{A(I)}{\opt(I)} - 1}
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\end{equation*}
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\item $A$ garantiert einen relativen Fehler von $\varepsilon_A(n)$, falls für alle $\{I\mid I \in \mathcal{D}, \abs{I}\le n\}$ gilt
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\begin{equation*}
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\varepsilon_A(I) \le \varepsilon_A(n)
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\end{equation*}
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\item $A$ hat eine relative Abweichung von $\rho'_A : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für unendlich viele $n$ gilt
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\begin{equation*}
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\rho_A^\mathrm{wc}(n) \ge \rho'_A(n)
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\end{equation*}
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\section{Graphfärbbarkeit}
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Eine unendlich große Menge $\mathcal{D}' \subseteq \mathcal{D}$ heißt $\rho'_A(n)$-Zeugenmenge gegen $A$, wenn für alle $I \in \mathcal{D}'$ gilt
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\begin{equation*}
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\rho_A(I) \ge \rho'_A(\abs{I})
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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Es folgen daraus direkt, dass
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\begin{enumerate}
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\item bei einem Minimierungsproblem $1 + \varepsilon_A(n) = \rho_A(n)$ ist.
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\item bei einem Maximierungsproblem $1 - \varepsilon_A(n) = \frac{1}{\rho_A(n)}$ ist.
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\item für alle Probleme $\varepsilon_A(n) \le \rho_A(n) - 1$ ist.
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\end{enumerate}
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Weiter lassen sich damit obere bzw. untere Schranken der Optimallösung aus einer approximierten Lösung angeben. Es folgt, dass
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\begin{enumerate}
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\item bei einem Minimierungsproblem gilt
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\begin{equation*}
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\frac{1}{\rho_A(\abs{I})} \cdot A(I) \le \opt(I) \le A(I) \le \rho_A(\abs{I})\cdot \opt(I)
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\end{equation*}
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\item bei einem Maximierungsproblem gilt
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\begin{equation*}
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\frac{1}{\rho_A(\abs{I})} \cdot \opt(I) \le A(I) \le \opt(I) \le \rho_A(\abs{I}) \cdot A(I)
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\end{equation*}
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\item bei beiden Problemtypen mit der Beziehung
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\begin{equation*}
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\abs{A(I) - \opt(I)} \le \varepsilon_A(\abs{I}) \cdot \opt(I)
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\end{equation*}
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gilt
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\begin{equation*}
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(1 - \varepsilon_A(\abs{I})) \cdot \opt(I) \le A(I) \le (1 + \varepsilon_A(\abs{I})) \cdot \opt(I)
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\section{Das Problem der Unabhängigen Knotenmengen \problem{IS}}
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\section{Graphfärbbarkeitsprobleme}
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\subsection{Knotenfärbungsproblem}
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\subsubsection{Definition}
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\begin{align*}
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@ -176,67 +238,6 @@ Die Größe der kleinsten möglichen Kantenfärbung ist der chromatische Index $
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\subsubsection{Algorithmen}
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TODO: Übung
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\section{Relative Gütegarantie}
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\subsection{Definition}
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\begin{enumerate}
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\item $A$ hat bei Eingabe $I$ eine relative Güte von
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\begin{equation*}
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\rho_A(I) = \max\left\{\frac{A(I)}{\opt(I)}, \frac{\opt(I)}{A(i)}\right\} \ge 1
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\end{equation*}
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\item Die relative worst-case-Güte von $A$ ist die Funktion
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\begin{equation*}
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\rho_A^\mathrm{wc}(n) = \max\left\{\rho_A(I)\mid I \in \mathcal{D}, \abs{i}\le n\right\}
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\end{equation*}
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\item $A$ garantiert eine relative Güte von $\rho_A : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt
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\begin{equation*}
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\rho_A^{\mathrm{wc}}(n) \le \rho_A(n)
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\end{equation*}
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\item $A$ macht für die Eingabe $I \in \mathcal{D}$ einen relativen Fehler von
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\begin{equation*}
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\varepsilon_A(I) = \frac{\abs{A(I) - \opt(I)}}{\opt(I)} = \abs{\frac{A(I)}{\opt(I)} - 1}
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\end{equation*}
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\item $A$ garantiert einen relativen Fehler von $\varepsilon_A(n)$, falls für alle $\{I\mid I \in \mathcal{D}, \abs{I}\le n\}$ gilt
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\begin{equation*}
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\varepsilon_A(I) \le \varepsilon_A(n)
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\end{equation*}
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\item $A$ hat eine relative Abweichung von $\rho'_A : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für unendlich viele $n$ gilt
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\begin{equation*}
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\rho_A^\mathrm{wc}(n) \ge \rho'_A(n)
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\end{equation*}
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Eine unendlich große Menge $\mathcal{D}' \subseteq \mathcal{D}$ heißt $\rho'_A(n)$-Zeugenmenge gegen $A$, wenn für alle $I \in \mathcal{D}'$ gilt
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\begin{equation*}
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\rho_A(I) \ge \rho'_A(\abs{I})
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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Es folgen daraus direkt, dass
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\begin{enumerate}
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\item bei einem Minimierungsproblem $1 + \varepsilon_A(n) = \rho_A(n)$ ist.
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\item bei einem Maximierungsproblem $1 - \varepsilon_A(n) = \frac{1}{\rho_A(n)}$ ist.
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\item für alle Probleme $\varepsilon_A(n) \le \rho_A(n) - 1$ ist.
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\end{enumerate}
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Weiter lassen sich damit obere bzw. untere Schranken der Optimallösung aus einer approximierten Lösung angeben. Es folgt, dass
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\begin{enumerate}
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\item bei einem Minimierungsproblem gilt
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\begin{equation*}
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\frac{1}{\rho_A(\abs{I})} \cdot A(I) \le \opt(I) \le A(I) \le \rho_A(\abs{I})\cdot \opt(I)
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\end{equation*}
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\item bei einem Maximierungsproblem gilt
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\begin{equation*}
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\frac{1}{\rho_A(\abs{I})} \cdot \opt(I) \le A(I) \le \opt(I) \le \rho_A(\abs{I}) \cdot A(I)
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\end{equation*}
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\item bei beiden Problemtypen mit der Beziehung
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\begin{equation*}
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\abs{A(I) - \opt(I)} \le \varepsilon_A(\abs{I}) \cdot \opt(I)
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\end{equation*}
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gilt
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\begin{equation*}
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(1 - \varepsilon_A(\abs{I})) \cdot \opt(I) \le A(I) \le (1 + \varepsilon_A(\abs{I})) \cdot \opt(I)
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\section{Das metrische Traveling Salesperson Problem $\Delta\problem{TSP}$}
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\subsection{Definition}
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\begin{align*}
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