GreedyCol2 mit GreedyIS

zusammenfassung.tex

@@ -283,6 +283,42 @@ Die Größe der kleinsten möglichen Knotenfärbung ist die chromatische Zahl $\
 	$\Delta(G) - 1$-Zeuge gegen \algo{GreedyCol}: TODO (Abbildung 2.1)
 \end{zeuge}
 
+\paragraph{GreedyCol2}
+\begin{algorithmic}[]
+	\State $t = 1, V^{(1)} = V$
+	\While{$V^{(t)} \neq \emptyset$}
+		\State $G^{(t)} =$ der durch $V^{(t)}$ induzierte Graph
+		\State $U_t = \algo{GreedyIS}(G^{(t)})$
+		\State färbe alle Knoten in $U_t$ mit Farbe $t$
+		\State $V^{(t+1)} = V^{(t)} - U_t$
+		\State $t = t + 1$
+	\EndWhile\\
+	\Return berechnete Färbung
+\end{algorithmic}
+
+\begin{satz}
+	Für einen knoten-$k$-färbbaren Graph $G = (V, E)$ mit $n = \abs{V}$ gibt \algo{GreedyCol2} eine Färbung mit höchstens $\frac{3n}{\log_k \left(\frac{n}{16}\right)}$. Die relative Gütegarantie liegt als in $\mathcal{O}\left(\frac{n}{\log n}\right)$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Zur Vereinfachung bezeichne $n_t = \abs{V^{(t)}}$. Aus der Analyse von \algo{GreedyIS} folgt $\abs{U_t} \ge \log_k\left(\frac{n_t}{3}\right)$. Es ergibt sich die Rekursion
+	\begin{align*}
+		n_1 &= n\\
+		n_{t + 1} &\le n_t - \log_k\left(\frac{n_t}{3}\right)
+	\end{align*}
+	
+	Nun wird bestimmt, für welches $t$ $n_t < 1$ eintritt, denn dann bricht der Algorithmus ab.
+	Behelfsmäßig sei $n_t \ge \frac{n}{\log_k\left(\frac{n}{16}\right)}$. Mit der Beziehung $\frac{n}{\log_k n} \ge \frac{3}{4}\cdot \sqrt{n}$ ergibt sich
+	\begin{equation*}
+		\log_k\left(\frac{n_t}{3}\right) \ge \log_k \left(\frac{n}{3 \cdot \log_k n}\right) \ge \log_k\left(\sqrt{\frac{n}{16}}\right) = \frac{1}{2} \cdot \log_k\left(\frac{n}{16}\right)
+	\end{equation*}
+	Solange $n_t \ge \frac{n}{\log_k\left(\frac{n}{16}\right)}$ also gilt, werden pro Runde mindestens $\frac{1}{2} \cdot \log_k\left(\frac{n}{16}\right)$ Knoten pro Runde gefärbt. Nach höchstens $t \le \frac{2n}{\log_k\left(\frac{n}{16}\right)}$ gilt die Ungleichung nicht mehr. Färbt man jetzt alle verbliebenen Knoten mit jeweils einer eigenen Farbe, werden insgesamt maximal $ \frac{n}{\log_k\left(\frac{n}{16}\right)} + t \leq \frac{3n}{\log_k\left(\frac{n}{16}\right)}$ vergeben.
+	
+	Mit $k = \chi_G = \opt(G)$ ergibt sich für die relative Gütegarantie:
+	\begin{equation*}
+	\frac{\algo{GreedyCol2(G)}}{\opt(G)} \le \frac{\frac{3n}{\log_k\left(\frac{n}{16}\right)}}{k} = \mathcal{O}\left(\frac{n}{\log n}\right)
+	\end{equation*}
+\end{proof}
+
 \subsection{Kantenfärbungsproblem}
 \subsubsection{Definition}
 \begin{align*}