Definition relative Güte

zusammenfassung.tex

@@ -51,7 +51,7 @@
 
 \tableofcontents
 \clearpage
-\section{Kombinatorisches Optimierungsproblem $\phi$}
+\section{Kombinatorisches Optimierungsproblem $\Pi$}
 \subsection{Definition}
 \begin{align*}
 	\mathcal{D} &= \text{Menge der Eingaben $I$}\\
@@ -59,10 +59,10 @@
 	f: \mathcal{S}(I) \mapsto \mathbb{N}^{\neq 0} &= \text{Bewertungs-/Kosten-/Maßfunction}\\
 	\mathrm{ziel} \in \{\min, \max\}
 \end{align*}
-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}
 	\item Beschränkung auf natürliche Zahlen, weil Vergleich reeller Zahlen bislang nicht beweisbar schnell funktioniert.
 	\item Ausschluss der 0 für spätere Definitionen sinnvoll (lässt sich durch Modifikation von $f$ in der Regel trivial erreichen)
-\end{itemize}
+\end{enumerate}
 
 Gesucht ist zu $I \in \mathcal{D}$ eine zulässige Lösung $\sigma_\mathrm{opt} \in \mathcal{S}(I)$, sodass
 \begin{equation*}
@@ -77,7 +77,7 @@ Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe
 
 \section{Konstante Gütegarantie}
 \subsection{Definition}
-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}
 	\item $A$ hat bei Eingabe $I$ absolute Güte von
 	\begin{equation*}
 	\kappa_A(I) = \abs{A(I) - \opt(I)}
@@ -88,7 +88,7 @@ Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe
 	\end{equation*}
 	\item $A$ garantiert eine absolute Güte von $\kappa_A: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:
 	\begin{equation*}
-		\kappa_A^{\mathrm{wc}} \le \kappa_A(n)
+		\kappa_A^{\mathrm{wc}}(n) \le \kappa_A(n)
 	\end{equation*}
 	\item $A$ hat eine absolute Abweichung von $\kappa'_A: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für unendlich viele $n$ gilt
 	\begin{equation*}
@@ -98,7 +98,7 @@ Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe
 	\begin{equation*}
 		\kappa_A(I) \ge \kappa'_A(\abs{I})
 	\end{equation*}
-\end{itemize}
+\end{enumerate}
 
 \subsection{Unmöglichkeitsergebnis für das Rucksackproblem}
 \begin{satz}
@@ -173,4 +173,65 @@ f(c_\mathrm{E}) &= \abs{c_\mathrm{E}(E)}\\
 Die Größe der kleinsten möglichen Kantenfärbung ist der chromatische Index $\chi'(G)$.
 \subsubsection{Algorithmen}
 TODO: Übung
+
+\section{Relative Gütegarantie}
+\subsection{Definition}
+\begin{enumerate}
+	\item $A$ hat bei Eingabe $I$ eine relative Güte von
+	\begin{equation*}
+		\rho_A(I) = \max\left\{\frac{A(I)}{\opt(I)}, \frac{\opt(I)}{A(i)}\right\} \ge 1
+	\end{equation*}
+	\item Die relative worst-case-Güte von $A$ ist die Funktion
+	\begin{equation*}
+		\rho_A^\mathrm{wc}(n) = \max\left\{\rho_A(I)\mid I \in \mathcal{D}, \abs{i}\le n\right\}
+	\end{equation*}
+	\item $A$ garantiert eine relative Güte von $\rho_A : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt
+	\begin{equation*}
+		\rho_A^{\mathrm{wc}}(n) \le \rho_A(n)
+	\end{equation*}
+	\item $A$ macht für die Eingabe $I \in \mathcal{D}$ einen relativen Fehler von
+	\begin{equation*}
+		\varepsilon_A(I) = \frac{\abs{A(I) - \opt(I)}}{\opt(I)} = \abs{\frac{A(I)}{\opt(I)} - 1}
+	\end{equation*}
+	\item $A$ garantiert einen relativen Fehler von $\varepsilon_A(n)$, falls für alle $\{I\mid I \in \mathcal{D}, \abs{I}\le n\}$ gilt
+	\begin{equation*}
+		\varepsilon_A(I) \le \varepsilon_A(n)
+	\end{equation*}
+	\item $A$ hat eine relative Abweichung von $\rho'_A : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für unendlich viele $n$ gilt
+	\begin{equation*}
+		\rho_A^\mathrm{wc}(n) \ge \rho'_A(n)
+	\end{equation*}
+	
+	Eine unendlich große Menge $\mathcal{D}' \subseteq \mathcal{D}$ heißt $\rho'_A(n)$-Zeugenmenge gegen $A$, wenn für alle $I \in \mathcal{D}'$ gilt
+	\begin{equation*}
+	\rho_A(I) \ge \rho'_A(\abs{I})
+	\end{equation*}
+\end{enumerate}
+
+Es folgen daraus direkt, dass
+\begin{enumerate}
+	\item bei einem Minimierungsproblem $1 + \varepsilon_A(n) = \rho_A(n)$ ist.
+	\item bei einem Maximierungsproblem $1 - \varepsilon_A(n) = \frac{1}{\rho_A(n)}$ ist.
+	\item für alle Probleme $\varepsilon_A(n) \le \rho_A(n) - 1$ ist.
+\end{enumerate}
+
+Weiter lassen sich damit obere bzw. untere Schranken der Optimallösung aus einer approximierten Lösung angeben. Es folgt, dass
+\begin{enumerate}
+	\item bei einem Minimierungsproblem gilt
+	\begin{equation*}
+		\frac{1}{\rho_A(\abs{I})} \cdot A(I) \le \opt(I) \le A(I) \le \rho_A(\abs{I})\cdot \opt(I)
+	\end{equation*}
+	\item bei einem Maximierungsproblem gilt
+	\begin{equation*}
+		\frac{1}{\rho_A(\abs{I})} \cdot \opt(I) \le A(I) \le \opt(I) \le \rho_A(\abs{I}) \cdot A(I)
+	\end{equation*}
+	\item bei beiden Problemtypen mit der Beziehung
+	\begin{equation*}
+		\abs{A(I) - \opt(I)} \le \varepsilon_A(\abs{I}) \cdot \opt(I)
+	\end{equation*}
+	gilt
+	\begin{equation*}
+		(1 - \varepsilon_A(\abs{I})) \cdot \opt(I) \le A(I) \le (1 + \varepsilon_A(\abs{I})) \cdot \opt(I)
+	\end{equation*}
+\end{enumerate}
 \end{document}