Algorithmus B und Randomized Rounding

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@@ -656,4 +656,83 @@ Der folgende Algorithmus $A$ nutzt die sogenannte probabilistische Methode aus,
 \begin{satz}
 	Algorithmus $A$ garantiert für jede boolesche $(n,m)$-Formel $\Phi$ in KNF sogar eine erwartete relative Güte von $\frac{3}{2}$.
 \end{satz}
+
+\subsection{Arithmetisierung und Randomized Rounding mit Algorithmus $B$}
+\problem{Max-SAT} kann auch als Lineares Programm (LP) ausgedrückt werden.
+Es bezeichnen im Folgenden $S_j^{\oplus}$ die Menge der Variablen, die in $C_j$ nicht negiert vorkommen, und $S_j^{\ominus}$ die Menge der Variablen, die in $C_j$ negiert vorkommen.
+Für jede boolesche Variable $x_i$ wird eine 0-1-Variable $\hat{x}_i$ eingeführt; für jede Klausel $C_j$ eine 0-1-Variable $\hat{Z}_j$.
+Es ergibt sich also das folgende ganzahlige lineare Programm (ILP) $B$ für \problem{Max-SAT}:
+\begin{align*}
+	\text{maximiere} &\quad\sum_{j=1}^{m} \hat{Z}_j\\
+	\text{gemäß} &\quad\sum_{x_i \in S_j^{\oplus}} \hat{x}_i + \sum_{x_i \in S_j^{\ominus}} \left(1 - \hat{x}_i\right) \ge \hat{Z}_j &\forall j\\
+	&\quad\hat{x}_i \in \{0, 1\} &\forall i\\
+	&\quad\hat{Z}_j \in \{0, 1\} &\forall j
+\end{align*}
+Relaxiert man die Bedingungen, dass $\hat{x}_i, \hat{Z}_j \in \{0, 1\}$ gelten muss, und stellt fordert stattdessen $\forall i, j: 0\le \hat{x}_i, \hat{Z}_j \le 1$, kann das resultierende LP $B_\mathrm{rel}$ in Polynomzeit gelöst werden. Das LP selbst hat ebenfalls eine polynomiell beschränkte Anzahl an Bedingungen, sodass die Gesammtlaufzeit auch polynomiell beschränkt ist.
+
+Durch die Relaxierung entsteht die folgende Beziehung (exemplarisch für ein Maximierungsproblem), die als Superoptimalität bezeichnet wird:
+\begin{equation*}
+	\opt(B_\mathrm{rel}) \ge \opt(B) = \opt(\Phi)
+\end{equation*}
+
+Im Allgemeinen ist die rationale Lösung $\sigma_\mathrm{rel}$ von $B_\mathrm{rel}$ also keine zulässige Lösung für $B$.
+Hierzu müssen die $\hat{x}_i$ auf 0 oder 1 (bzw. die $x$ auf \textsc{False} oder \textsc{True}) gerundet müssen.
+Eine Möglichkeit hierzu stellt der durch die stochastische Funktion $\phi: \left[0, 1\right] \mapsto \left[0, 1\right]$ parametrisierte Algorithmus $\algo{RandomizedRounding}[\pi]$ dar:
+\begin{algorithmic}[]
+	\For{$i = 1\dots n$}
+		\State $x_i = \begin{cases*}
+			\textsc{True} & mit Wahrscheinlichkeit $\pi(\hat{x}_i)$\\
+			\textsc{False} & mit Wahrscheinlichkeit $1 - \pi(\hat{x}_i)$\\
+		\end{cases*}$
+	\EndFor
+	\State \Return $b_B = (x_1,\dots,x_n)$
+\end{algorithmic}
+
+Damit kann dann der Algorithmus $B$ gebildet werden, der \problem{Max-SAT} approximiert:
+\begin{algorithmic}[]
+	\State konstruiere das LP $B_\mathrm{rel}$ zur Eingabe $\Phi$
+	\State ermittle die rationale Lösung $b_\mathrm{rel}$ von $B_\mathrm{rel}$
+	\State \Return \Call{$\algo{RandomizedRounding}[\pi(x) = x]$}{$b_\mathrm{rel}$}
+\end{algorithmic}
+
+\begin{satz}
+	Sei $k_j$ die Anzahl der Literale in $C_j$, dann gilt:
+	\begin{equation*}
+		P\left[C_j\,\text{wird durch den Algorithmus $B$ erfüllt}\right] \ge \left(1 - \left(1 - \frac{1}{k_j}\right)^{k_j}\right)\cdot \hat{Z}_j
+	\end{equation*}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Erneut wird über die Gegenwahrscheinlichkeit argumentiert:
+	\begin{equation*}
+		P\left[C_j\,\text{wird durch den Algorithmus $B$ nicht erfüllt}\right] = \left[\Pi_{x_i\in S_j^{\oplus}} \left(1 - \hat{x}_i\right)\right] \cdot \left[\Pi_{x_i\in S_j^{\ominus}} \hat{x}_i\right]
+	\end{equation*}
+	Es folgt
+	\begin{align*}
+		P&\left[C_j\,\text{wird durch den Algorithmus $B$ erfüllt}\right] = 1- \left[\Pi_{x_i\in S_j^{\oplus}} \left(1 - \hat{x}_i\right)\right] \cdot \left[\Pi_{x_i\in S_j^{\ominus}} \hat{x}_i\right]\\
+		&\ge 1 - \left(\frac{\sum_{x_i \in S_j^{\oplus}}\left(1 - \hat{x}_i\right) + \sum_{x_i \in S_j^{\ominus}}\hat{x}_i}{k_j}\right)^{k_j}\\
+		&= 1 - \left(\frac{\abs{S_j^{\oplus}} - \sum_{x_i \in S_j^{\oplus}}\hat{x}_i + \abs{S_j^{\ominus}} - \sum_{x_i \in S_j^{\ominus}}\left(1 -\hat{x}_i\right)}{k_j}\right)^{k_j}\\
+		&= 1 - \left(\frac{k_j - \left(\sum_{x_i \in S_j^{\oplus}}\hat{x}_i + \sum_{x_i \in S_j^{\ominus}}\left(1 -\hat{x}_i\right)\right)}{k_j}\right)^{k_j}\\
+		&\overset{\text{NB von $B$}}{\ge} 1 - \left(1 - \frac{\hat{Z}_j}{k_j}\right)^{k_j} \overset{\text{Konkavität}}{\ge} \left(1 - \left(1 - \frac{1}{k_j}\right)^{k_j}\right)\cdot \hat{Z}_j
+	\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+	Für jede boolesche Formel $\Phi$ in KNF, in der jede Klausel höchstens $k$ Literale hat, gilt
+	\begin{equation*}
+		E\left[B(\Phi)\right] \ge \left(1 - \left(1 - \frac{1}{k}\right)^{k}\right)\cdot\opt(\Phi)
+	\end{equation*}
+\end{satz}
+\begin{satz}
+	Mit der bekannten Abschätzung $1 - \left(1 - \frac{1}{k}\right)^k \ge 1 -\frac{1}{e}$ für alle $k \in \mathbb{N}$
+	beträgt die erwartete Anzahl an erfüllten Klauseln von Algorithmus $B$ bei einer Eingabe $\Phi$ in KNF mindestens $\left(1 - \frac{1}{e}\right)\cdot\opt(\Phi) \approx 0.632\cdot\opt(\Phi)$.
+	
+	Algorithmus $B$ hat also eine erwartete relative Güte von
+	\begin{equation*}
+		E\left[\rho_B(\Phi)\right] \le \frac{1}{1 - \frac{1}{e}} \approx 1.582
+	\end{equation*}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}
+	Mit $\pi(x) = \frac{1}{2}\cdot x + \frac{1}{4}$ oder $1 - \frac{1}{4^x} \le \pi(x) \le 4^{x-1}$ kann Algorithmus $B$ sogar eine erwartete relative Güte von $\frac{4}{3}$ erreichen.
+\end{satz}
 \end{document}