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857ad42140
| Author | SHA1 | Date | |
|---|---|---|---|
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857ad42140 |
BIN
verfahren.pdf
BIN
verfahren.pdf
Binary file not shown.
@@ -212,7 +212,7 @@
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\item Vorverarbeitung: und sowie Wertgleichheit
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\end{itemize}
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\item Kopienfortschreibung: \begin{itemize}
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\item Eine Bitposition pro aus Kopieren entstandener Wertgleichtheitsbeziehung
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\item Eine Bitposition pro aus Kopieren entstandener Wergleichtheitsbeziehung
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\item Setzen bei Kopieroperation
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\item Zurücksetzen wenn Original oder Kopie mindestens schwach definiert wird
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\item Anfangsbelegung: false
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@@ -316,51 +316,6 @@
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\item Falls $t$ in unbesuchten Blöcken nicht geändert wurde, $\mathrm{wn}_Z(t) = \phi'(\mathrm{wn}_X(t),\mathrm{wn}_Y(t))$ löschen und alle Verwendungen von $\mathrm{wn}_Z(t)$ durch $\mathrm{wn}_X(t)$ ersetzen
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\newpage
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\subsubsection{Wertnummerierungsverfahren nach Click/Braun (aus Übung)}
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\begin{algorithmic}
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\Function{Visit}{Basisblock $b$}
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\State Wertnummerierung mit ReadVar/WriteVar durchführen
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\ForAll{KFG-Nachfolger $s$ von $b$}
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\If{$b$ ist letzter Vorgänger (höchste Tiefensuchnummer) von $s$}
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\State \Call{Seal}{$s$}
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\EndIf
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\If{$s$ noch nicht besucht}
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\State \Call{Visit}{$s$}
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\EndIf
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\EndFor
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\EndFunction
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\Statex
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||||
\Function{Seal}{Basisblock $b$}
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\ForAll{vorläufige $\phi$-Funktion für Variable $v$ in $b$}
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\ForAll{KFG-Vorgänger $p$ von $b$}
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\State \Call{ReadVar}{$v$, $p$} als Operand zu $\phi$-Funktion hinzufügen
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\EndFor
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\EndFor
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\EndFunction
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\Statex
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||||
\Function{WriteVar}{Variable $v$, Basisblock $b$}
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||||
\State \Return nächste frische Wertnummer für $v$
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\EndFunction
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\Statex
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||||
\Function{ReadVar}{Variable $v$, Basisblock $b$}
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||||
\If{$b$ enthält bereits Wertnummer für $v$}
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\State \Return Wertnummer für $v$ in $b$
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\EndIf
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\If{$b$ ist noch nicht versiegelt}
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\State vorläufige $\phi$-Funktion mit nächster Wertnummer für $v$ in $b$ einfügen
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\State \Return Wertnummer der $\phi$-Funktion
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\ElsIf{$b$ hat nur einen Vorgänger $p$}
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\State \Return \Call{ReadVar}{$v$, $p$}
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\Else
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\State $phi$-Funktion mit nächster Wertnummer für $v$ in $b$ in einfügen
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\ForAll{KFG-Vorgänger $p$ von $b$}
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||||
\State \Call{ReadVar}{$v$, $p$} als Operand zu $\phi$-Funktion hinzufügen
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||||
\EndFor
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||||
\State \Return Wertnummer der $\phi$-Funktion
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||||
\EndIf
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||||
\EndFunction
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||||
\end{algorithmic}
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||||
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\subsection{Optimierungen auf SSA-Form}
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\begin{itemize}
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@@ -494,7 +449,6 @@
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\mathit{Ptr}(P',x) & sonst
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\end{cases*}
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\end{equation*}
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\item Bei Flussfunktion $\mathit{ptr}_P(*c)$ für alle $k \in \mathit{Ptr}(P, c)$ Wissen $\mathit{Ptr}(P, k)$ berechnen
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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@@ -556,19 +510,19 @@
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\item $a = \&b$: Kante zwischen $a$ und $b$ einfügen; sofern bereits Kante zwischen $a$ und $x$ existiert, rekursives Verschmelzen von $x$ und $b$
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\item $a = b$:\begin{itemize}
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\item $b$ ist Zeiger: Verschmelzen der Ziele von $a$ und $b$, anschließend zeigen beide auf diesen Knoten
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\item $b$ ist kein Zeiger bzw. noch nicht erkannt: Annotiere $b$ mit $\lbrace a = b\rbrace$ (Falls später Zeigerziel $y$ von $b$ entdeckt wird, muss Kante von $a$ nach $y$ ergänzt werden)
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||||
\item $b$ ist kein Zeiger bzw. noch nicht erkannt: Annotiere $b$ mit $(a:b)$ (Falls später Zeigerziel $y$ von $b$ entdeckt wird, muss Kante von $a$ nach $y$ ergänzt werden)
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\end{itemize}
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\item $a = *b$: \begin{itemize}
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\item $b$, $*b$ haben bereits ausgehende Kanten: Kante zwischen $a$ und $**b$ ergänzen
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\item sonst: analog zu $a = b$ mit adäquaten Annotationen
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||||
\item sonst: analog zu $a = b$ mit adäquaten Annotationen (TODO: Übung)
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\end{itemize}
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||||
\item $*a = b$: \begin{itemize}
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\item $a$, $*a$ mit ausgehenden Kanten: rekursives Verschmelzen von $*b$ und $**a$
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\item $a$ noch ohne ausgehende Kante: Annotation von $a$ mit $\lbrace *a = b\rbrace$
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\item $a$ noch ohne ausgehende Kante: Annotation von $a$ mit $(b:*a)$
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\end{itemize}
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||||
\item $a = b \oplus c$ mit $\oplus$ binärer Operation: \begin{itemize}
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\item $a$, $b$, $c$ nicht als Zeiger erkannt: Annotation von $b$ und $c$ mit $\lbrace a= b\rbrace$ bzw. $\lbrace a= c\rbrace$
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\item $b$ oder $c$ Zeiger: Kante von $a$ nach $*b$ hinzufügen, $c$ mit $\lbrace a = b\rbrace$ annotieren
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\item $a$, $b$, $c$ keine Zeiger: Annotation von $b$ und $c$ mit $(a:b)$ bzw. $(a:c)$
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\item $b$ oder $c$ Zeiger: Kante von $a$ nach $*b$ hinzufügen, $c$ mit $(a:c)$ annotieren
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\end{itemize}
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||||
\item $x = p(y_1, \textellipsis, y_n)$ mit Funktion $p(z_1, \textellipsis, z_n)$ \begin{enumerate}
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\item Zuweisungsregeln $z_i = y_i$ verwenden
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@@ -605,7 +559,7 @@
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||||
\item Bestimmung der Schleifenausgänge, also Knoten, die KFG-Nachfolger außerhalb der natürlichen Schleife besitzen
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\item Alle Anforderungen an Zuweisungen müssen für Herausziehbarkeit gelten:\begin{itemize}
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\item schleifeninvariant
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\item in Grundblock, der alle Schleifenausgänge, nach denen die Variable lebendig ist, dominiert und alle die Variable nutzenden Blöcke strikt dominiert (oder in definierendem Block nach Definition auftritt)
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||||
\item in Grundblock, der alle Schleifenausgänge dominiert und alle die Variable nutzenden Blöcke strikt dominiert
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\item einzige Zuweisung zu Variable in der ganzen Schleife
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\end{itemize}
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||||
\item Herausziehen vor den Schleifenkopf in Breitensuchreihenfolge zur Bewahrung der Datenabhängigkeiten zwischen herausgezogenen Zuweisungen
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@@ -711,8 +665,7 @@
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\subsection{Indexanalyse}
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\begin{itemize}
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\item Bestimmung, ob 2 Array-Zugriffe selbe bzw. unterschiedliche Elemente ansprechen: Grundannahme pessimistisch (gleiches Element)
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||||
\item Für 2 Array-Zugriffe $S1$ $A[f_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, f_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ und\\
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||||
$S2$ $A[g_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, g_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ gilt $S1 \delta S2$ $\Leftrightarrow$:\begin{itemize}
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||||
\item Für 2 Array-Zugriffe $S1: A[f_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, f_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ und $S2: A[f_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, f_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ gilt $S1 \delta S2$ $\Leftrightarrow$:\begin{itemize}
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||||
\item mindestens ein Schreibzugriff
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\item $\exists I, J: I=(i_1, \textellipsis, i_d) \angle J =(j_1, \textellipsis, j_d)$ mit $I, J$ innerhalb der Schleifengrenzen (Ungleichunssystem mit Nebenbedingungen)
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||||
\item $\forall p: f_p(I) = g_p(J)$ (Gleichungssystem mit Schleifenlaufvariablen als Variablen und Konstanten aus linearem Index-Ausdruck als Koeffizienten)
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@@ -725,16 +678,13 @@
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||||
\item Für verschiedene Arten der Abhängigkeit in obige Kriterien einsetzen
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\end{enumerate}
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||||
\item Ungleichungstest:\begin{enumerate}
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\item Ungleichungen für im Code verwendete Variablen $i$ mit $i_\mathrm{w}$, $i_\mathrm{r}$ für Schreib- und Lesezugriff aufstellen:\begin{enumerate}
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||||
\item Ungleichungen für Schleifengrenzen
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||||
\item Ungleichungen für relative Beziehung von $i_\mathrm{w}$ und $i_\mathrm{r}$
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\end{enumerate}
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||||
\item Ungleichungen für verwendete Variablen aufstellen
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\item Gleichung für Zugriff aufstellen und so umstellen, dass 0 auf einer Seite steht
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\item In Gleichung jeweils untere und obere Grenzwerte einsetzen und damit ein Intervall bestimmen
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\item Sofern Intervall nicht 0 enthält, keine Abhängigkeit
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\end{enumerate}
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\item Fourier-Motzkin-Test: \begin{itemize}
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||||
\item Ungleichungssystem in kanonische Form ($\le c$, $c$ Konstante) überführen \begin{itemize}
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||||
\item Ungleichungssystem in kanonische Form überführen: \begin{itemize}
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||||
\item $\beta < b \cdot z$ untere Schranke für $z$ mit $\beta > 0$
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||||
\item $a \cdot z < \alpha$ obere Schranke für $z$ mit $\alpha > 0$
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\end{itemize}
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@@ -742,22 +692,6 @@
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\begin{equation*}
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a\cdot \beta \leq a \cdot z \cdot b \leq b\cdot \alpha \rightarrow a\cdot \beta \leq b\cdot \alpha
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\end{equation*}
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\item Algorithmus aus Übung: \begin{algorithmic}
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\Repeat
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\State Unbekannte $x_j$ auswählen
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\State $L \gets \lbrace i \mid a_{ij} < 0 \rbrace$
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\State $U \gets \lbrace i \mid a_{ij} > 0 \rbrace$
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\ForAll{$i \in L \cup U$}
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||||
\State Reihe $i$ mit $\vert a_{ij}\vert$ normalisieren
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\EndFor
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\ForAll{$i \in L$}
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\ForAll{$k \in U$}
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||||
\State Füge Ungleichung $A_{[i]} + A {[k]} \leq b_i + b_k$ hinzu
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\EndFor
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||||
\EndFor
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||||
\State Ignoriere/Lösche alle Reihen aus $L \cup U$
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\Until{System aus trivialen Ungleichungen}
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\end{algorithmic}
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||||
\item Kleineres Problem $a\cdot \beta \leq b\cdot \alpha$ rekursiv lösen:\begin{itemize}
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||||
\item keine Lösung $\rightarrow$ unabhängig
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||||
\item Lösung existiert $\rightarrow$ Prüfung, ob auch ganzzahlige Lösung für $a\cdot z\cdot b$ existiert
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@@ -769,7 +703,7 @@
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\subsection{Entfernung von schleifengetragenen Datenabhängigkeiten}
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\begin{itemize}
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||||
\item Legalität: Für jede Datenabhängigkeit muss die relative Reihenfolge auch nach Anwendung der Transformation bzw. Restrukturierung erhalten bleiben, d.h. die entstehenden Abhängigkeits\-distanz\-vektoren dürfen nicht lexikographisch negativ sein und müssen ihre Datenabhängigkeitsart behalten
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||||
\item Legalität: Für jede Datenabhängigkeit muss die relative Reihenfolge auch nach Anwendung der Transformation bzw. Restrukturierung erhalten bleiben, die entstehenden Abhängigkeitsdistanzvektoren nicht lexikographisch sein
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\end{itemize}
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\subsubsection{Schleifentransformationen}
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@@ -860,9 +794,11 @@
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\item ggf. Ermöglichung weiterer Optimierungen wie Verschmelzung
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\end{itemize}
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\item Neigen:\begin{itemize}
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\item Verschiebung des Array-Indexbereichs der inneren Schleife um $f \cdot i$ mit $f$ Neigungsfaktor und $i$ Iterationsvariable der äußeren Schleife
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\item Abzug von $f \cdot i$ bei Verwendungen der inneren Iterationsvariable
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\item Abhängigkeit $(d_1, d_2)$ wird zu $(d_1, d_2 + f \cdot d_1)$ $\rightarrow$ Ermöglichung weiterer Restrukturierungen
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\item Schleifenneigen:\begin{itemize}
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||||
\item Verschiebung des Array-Indexbereichs der inneren Schleife um $f \cdot i$ mit $f$ Neigungsfaktor und $i$ Iterationsvariable der äußeren Schleife
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||||
\item Abzug von $f \cdot i$ bei Verwendungen der inneren Iterationsvariable
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||||
\item Abhängigkeit $(d_1, d_2)$ wird zu $(d_1, d_2 + f \cdot d_1)$ $\rightarrow$ Ermöglichung weiterer Restrukturierungen
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\item Allgemeiner Fall:\begin{itemize}
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\item Transformation der Indexvektoren mit Matrix $U$ mit Eigenschaften (unimodular):\begin{itemize}
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