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Approximationsalgorithmen
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Definition der konstanten Gütegarantie

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Marco Ammon 2020-10-13 15:55:22 +02:00
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@ -25,8 +25,8 @@
%\usepackage{datetime}
%\usepackage{xcolor}
\DeclareMathOperator{\opt}{\mathrm{OPT}}
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclareMathOperator{\opt}{OPT}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\setlist[enumerate,1]{label={\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label={\alph*)}}
@ -44,8 +44,8 @@
\tableofcontents
\clearpage
\section{Grundlegende Definitionen}
\subsection{Kombinatorisches Optimierungsproblem $\phi$}
\section{Kombinatorisches Optimierungsproblem $\phi$}
\subsection{Definition}
\begin{align*}
\mathcal{D} &= \text{Menge der Eingaben $I$}\\
\mathcal{S}(I \in \mathcal{D}) &= \text{Menge der zur Eingabe $I$ zulässigen Lösungen}\\
@ -62,10 +62,34 @@ Gesucht ist zu $I \in \mathcal{D}$ eine zulässige Lösung $\sigma_\mathrm{opt}
\opt(I) = f(\sigma_\mathrm{opt}) = \mathrm{ziel}\{f(\sigma) \mid \sigma \in \mathcal{S}(I) \}
\end{equation*}
\subsubsection{Beispiele}
\subsection{Beispiele}
TODO: TSP, Rucksackproblem, etc.
\subsection{$t(n)$-Zeit-Approximationsalgorithmus $A$}
Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs I \abs)$ eine Ausgabe $\sigma_I^A \in \mathcal{S}(I)$. Es gilt die Schreibweise $A(I) = f(\sigma_I^A)$.
\section{$t(n)$-Zeit-Approximationsalgorithmus $A$}
Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe $\sigma_I^A \in \mathcal{S}(I)$. Es gilt die Schreibweise $A(I) = f(\sigma_I^A)$.
\section{Konstante Gütegarantie}
\subsection{Definition}
\begin{itemize}
\item $A$ hat bei Eingabe $I$ absolute Güte von
\begin{equation*}
\kappa_A(I) = \abs{A(I) - \opt(I)}
\end{equation*}
\item Die absolute Worst-Case-Güte von $A$ abhängig von der Eingabelänge $n = \abs{I}$ ist die Funktion
\begin{equation*}
\kappa_A^{\mathrm{wc}}(n) = \max\{\kappa_A(I) \mid I \in \mathcal{D}, \abs{I} <= n\}
\end{equation*}
\item $A$ garantiert eine absolute Güte von $\kappa_A: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:
\begin{equation*}
\kappa_A^{\mathrm{wc}} \le \kappa_A(n)
\end{equation*}
\item $A$ hat eine absolute Abweichung von $\kappa'_A: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für unendlich viele $n$ gilt
\begin{equation*}
\kappa'_A(n) \le \kappa_A^{wc}(n)
\end{equation*}
Eine unendlich große Menge $\mathcal{D}' \subseteq \mathcal{D}$ heißt $\kappa'_A(n)$-Zeugenmenge gegen $A$, wenn für alle $I \in \mathcal{D}'$ gilt:
\begin{equation*}
\kappa_A(I) \ge \kappa'_A(\abs{I})
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{document}