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\documentclass[11pt,a4paper,toc]{scrartcl}
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\DeclareMathOperator{\opt}{OPT}
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\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
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\setlist[enumerate,1]{label={\arabic*.}}
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\setlist[enumerate,2]{label={\alph*)}}
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\title{Approximationsalgorithmen}
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\author{Marco Ammon}
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\date{\today}
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\makeatletter
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\g@addto@macro\bfseries{\boldmath}
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\makeatother
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\section{Kombinatorisches Optimierungsproblem $\phi$}
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\subsection{Definition}
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\begin{align*}
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\mathcal{D} &= \text{Menge der Eingaben $I$}\\
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\mathcal{S}(I \in \mathcal{D}) &= \text{Menge der zur Eingabe $I$ zulässigen Lösungen}\\
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f: \mathcal{S}(I) \mapsto \mathbb{N}^{\neq 0} &= \text{Bewertungs-/Kosten-/Maßfunction}\\
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\mathrm{ziel} \in \{\min, \max\}
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\end{align*}
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\begin{itemize}
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\item Beschränkung auf natürliche Zahlen, weil Vergleich reeller Zahlen bislang nicht beweisbar schnell funktioniert.
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\item Ausschluss der 0 für spätere Definitionen sinnvoll (lässt sich durch Modifikation von $f$ in der Regel trivial erreichen)
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\end{itemize}
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Gesucht ist zu $I \in \mathcal{D}$ eine zulässige Lösung $\sigma_\mathrm{opt} \in \mathcal{S}(I)$, sodass
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\begin{equation*}
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\opt(I) = f(\sigma_\mathrm{opt}) = \mathrm{ziel}\{f(\sigma) \mid \sigma \in \mathcal{S}(I) \}
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\end{equation*}
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\subsection{Beispiele}
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TODO: TSP, Rucksackproblem, etc.
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\section{$t(n)$-Zeit-Approximationsalgorithmus $A$}
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Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe $\sigma_I^A \in \mathcal{S}(I)$. Es gilt die Schreibweise $A(I) = f(\sigma_I^A)$.
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\section{Konstante Gütegarantie}
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\subsection{Definition}
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\begin{itemize}
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\item $A$ hat bei Eingabe $I$ absolute Güte von
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\begin{equation*}
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\kappa_A(I) = \abs{A(I) - \opt(I)}
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\end{equation*}
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\item Die absolute Worst-Case-Güte von $A$ abhängig von der Eingabelänge $n = \abs{I}$ ist die Funktion
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\begin{equation*}
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\kappa_A^{\mathrm{wc}}(n) = \max\{\kappa_A(I) \mid I \in \mathcal{D}, \abs{I} <= n\}
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\end{equation*}
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\item $A$ garantiert eine absolute Güte von $\kappa_A: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:
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\begin{equation*}
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\kappa_A^{\mathrm{wc}} \le \kappa_A(n)
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\end{equation*}
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\item $A$ hat eine absolute Abweichung von $\kappa'_A: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für unendlich viele $n$ gilt
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\begin{equation*}
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\kappa'_A(n) \le \kappa_A^{wc}(n)
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\end{equation*}
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Eine unendlich große Menge $\mathcal{D}' \subseteq \mathcal{D}$ heißt $\kappa'_A(n)$-Zeugenmenge gegen $A$, wenn für alle $I \in \mathcal{D}'$ gilt:
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\begin{equation*}
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\kappa_A(I) \ge \kappa'_A(\abs{I})
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\end{equation*}
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\end{itemize}
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\end{document}
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