RandRoundSC[r]

zusammenfassung.tex

@@ -86,7 +86,9 @@
 \newcommand{\setcover}{\problem{SetCover}}
 \newcommand{\cov}{\mathrm{cov}}
 \newcommand{\detroundsc}{\algo{DetRoundSC}}
-\newcommand{\randroundingscr}{\algo{RandRoundingSC}[r]}
+\newcommand{\randroundscr}{\algo{RandRoundSC}[r]}
+\newcommand{\lasvegassc}{\algo{LasVegasSC}}
+\newcommand{\lasvegasscr}{\lasvegassc[r]}
 
 % Beweisumgebungen
 \newtheorem*{satz}{Satz}
@@ -940,7 +942,7 @@ Damit lautet das ILP $X$ für \setcover:
 	\end{equation*}
 \end{proof}
 
-\subsection{Unzuverlässiges Randomized Rounding mit $\randroundingscr$}
+\subsection{Unzuverlässiges Randomized Rounding mit $\randroundscr$}
 \begin{algorithmic}[1]
 	\State $(x_1, \dots, x_m) =$ löse $X_\rel$
 	\State $\chi = \emptyset$
@@ -949,10 +951,10 @@ Damit lautet das ILP $X$ für \setcover:
 	\EndFor
 	\State \Return $\chi$
 \end{algorithmic}
-\randroundingscr{} ist ein sogenannter Monte-Carlo-Algorithmus, weil er auch nicht zulässige Lösungen zurückliefern kann.
+\randroundscr{} ist ein sogenannter Monte-Carlo-Algorithmus, weil er auch nicht zulässige Lösungen zurückliefern kann.
 
 \begin{satz}
-	Für eine Eingabe $S$ von \setcover{} sei $\chi$ die Ausgabe von $\randroundingscr$. Dann gelten
+	Für eine Eingabe $S$ von \setcover{} sei $\chi$ die Ausgabe von $\randroundscr$. Dann gelten
 	\begin{enumerate}
 		\item $P\left[\chi\,\text{ist eine Überdeckung}\right] \ge 1 - n \cdot e^{-r}$
 		\item $E\left[\abs{\chi}\right] \le r \cdot \opt(S)$
@@ -976,4 +978,39 @@ Damit lautet das ILP $X$ für \setcover:
 		\end{equation*}
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
+
+\subsection{Las-Vegas-Algorithmus $\lasvegasscr$ für zuverlässig zulässige Lösungen}
+\begin{algorithmic}[1]
+	\State löse das LP $X_\rel$
+	\State $\tau = 0$
+	\Repeat
+		\State $\chi = \randroundscr(S)$
+		\State $\tau = \tau + 1$
+	\Until{$V(\chi) = V$}
+	\State \Return $S_\cov = \chi$
+\end{algorithmic}
+Das LP $X_\rel$ wird dabei nur einmal und nicht erneut in $\randroundscr{}$ gelöst.
+$\lasvegasscr$ ist ein sogenannter Las-Vegas-Algorithmus, weil er immer eine zulässige Lösung zurückliefert, seine Laufzeit allerdings zufällig ist.
+
+\begin{satz}
+	Sei $S$ eine Eingabe von \setcover{} und gelte $r > \ln n$. Für \lasvegasscr{} gelten dann
+	\begin{enumerate}
+		\item $S_\cov$ ist eine Überdeckung mit erwarteter Größe von höchstens $r \cdot \opt(S)$.
+		\item Die erwartete Anzahl der Iterationen der Repeat-Schleife ist höchstens $\frac{e^{2r}}{\left(n - e^{r}\right)^2}$.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}
+		\item Das Ergebnis folgt direkt aus der Analyse von \randroundscr.
+		\item \begin{align*}
+			E\left[\tau\right] &= \sum_{t=1}^\infty t \cdot P\left[\text{erst die $t$. Wiederholdung ist eine Überdeckung}\right]\\
+			&\le \sum_{t=1}^\infty t\cdot P\left[\text{ $t - 1$ Wiederholdungen sind keine Überdeckung}\right]\\
+			&\le \sum_{t=1}^\infty t\cdot \left(n\cdot e^{-r}\right)^{t-1} \overset{\text{Konvergenz durch}\, r > \ln n}{=} \frac{e^{2r}}{\left(n - e^r\right)^2}
+		\end{align*}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+	$\lasvegassc[\ln n + 1]$ garantiert eine relative erwartete Güte von $\ln n + 1$. Der Erwartungswert für die Anzahl der Iterationen der Schleife ist $\left(\frac{e}{e - 1}\right)^2 < 2.503$.
+\end{satz}
 \end{document}