Aufgaben Übungen 1, 2

zusammenfassung.tex

@@ -58,6 +58,7 @@
 % Graphen
 \newcommand{\greedycol}{\algo{GreedyCol}}
 \newcommand{\greedycoltwo}{\algo{GreedyCol2}}
+\newcommand{\greedycoledge}{\algo{GreedyColEdge}}
 \newcommand{\vertices}{\mathrm{V}}
 \newcommand{\edges}{\mathrm{E}}
 \newcommand{\degree}{\mathrm{deg}}
@@ -78,6 +79,9 @@
 \newcommand{\is}{\problem{IS}}
 \newcommand{\greedyis}{\algo{GreedyIS}}
 
+% Clique
+\newcommand{\clique}{\problem{Clique}}
+
 % TSP
 \newcommand{\tsp}{\problem{TSP}}
 \newcommand{\deltatsp}{\Delta\tsp}
@@ -189,6 +193,14 @@ Die Größe der kleinsten möglichen Kantenfärbung ist der chromatische Index $
 	\ziel &= \max
 \end{align*}
 
+\subsubsection{Das Cliquenproblem \clique}
+\begin{align*}
+	\domain &= \{\encoded{ G} \mid G = (V, E)\,\text{ein Graph}\}\\
+	\solution(\encoded{ G }) &= \{ U \mid U \subseteq V, \forall u, v \in U: (u, v) \in E\}\\
+	f(U) &= \abs{U}\\
+	\ziel &= \max
+\end{align*}
+
 \subsubsection{Das Erfüllbarkeitsproblem \maxsat}
 Sei $V = \{x_1, \dots, x_n\}$ die Menge der Variablen.
 Als Literal $l$ bezeichnet man eine Variable $x_i \in V$ oder ihre Negation $\overline{x_i}$.
@@ -482,6 +494,10 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P
 	, weil die untere Schranke $\opt(G)\ge 2$ für Graphen mit $\abs{V} \ge 2$ gilt.
 \end{satz}
 
+\begin{satz}
+	\greedycol{} liefert eine Knotenfärbung aus höchstens $\left\lceil \sqrt{2\cdot \abs{E}}\right\rceil$.
+\end{satz}
+
 \begin{zeuge}
 	$\Delta(G) - 1$-Zeuge gegen \greedycol: TODO (Abbildung 2.1)
 \end{zeuge}
@@ -523,8 +539,27 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P
 \end{proof}
 
 \section{Kantenfärbungsalgorithmen}
-TODO: Übung
+\subsection{\greedycoledge}
+\begin{algorithmic}[1]
+	\ForAll{$e_i \in E$}
+	\State $c_\edges(e_i) = \infty$
+	\EndFor
+	\ForAll{$\{u, v\} \in E$}
+		\State $c_\edges\lparen \{u, v\}\rparen \gets \min \lparen \mathbb{N} \setminus \left \lparen \lbrace c_\edges\lparen \lbrace u, w\rbrace\rparen \vert \lbrace u, w\rbrace \in E\rbrace \cup \lbrace c_\edges\lparen \lbrace v, w\rbrace\rparen \vert \lbrace v, w\rbrace \in E\rbrace \right\rparen \rparen$ \Comment Kante bekommt kleinste freie Farbe
+	\EndFor
+	\State\Return $c_\edges$
+\end{algorithmic}
+\begin{satz}
+	\greedycoledge{} liefert eine Kantenfärbung mit höchstens $2\cdot \Delta(G) - 1$ Farben, für die absolute Gütegarantie gilt $\kappa_\greedycoledge = \Delta(G) - 1$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Erreicht \greedycoledge{} eine noch ungefärbte Kante, können an ihre beiden Knoten jeweils maximal $\Delta(G) - 1$ andere Kanten antreffen. Es muss also noch mindestens eine Farbe aus der Menge $\{1,\dots, 2\cdot \Delta(G) - 1\}$ frei sein.
 	
+	Für eine Knotenfärbung werden mindestens $\Delta(G)$ Farben benötigt, also folgt
+	\begin{equation*}
+		\kappa_\greedycoledge = \abs{\greedycoledge(2) - \opt(G)} \leq \abs{2\cdot \Delta(G) - 1 - \Delta(G)} = \Delta(G) - 1
+	\end{equation*}
+\end{proof}
 
 \section{Christofides' Algorithmus \algo{CH} für $\deltatsp$}
 Ein Matching $M$ eines kantengewichteten Graphen $G$ ist ein Teilgraph von $G$ mit $\Delta(G) \le 1$. Ist $G$ ein vollständiger Graph mit $\abs{V}$ gerade, dann gibt es perfekte Matchings. In einem perfekten Matching haben alle Knoten genau den Grad 1. Ein perfektes Matching mit kleinstmöglichem Gewicht wird als leichtestes Matching bezeichnet. Ein solches leichtestes Matching kann in $\bigO(n^{2.5}\cdot (\log n)^4)$ berechnet werden.