PrimalDualSC_2
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Marco Ammon
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e89c61c98d
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91dacf4cdc
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@ -94,6 +94,8 @@
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\newcommand{\lasvegassc}{\algo{LasVegasSC}}
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\newcommand{\lasvegasscr}{\lasvegassc[r]}
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\newcommand{\dualpursc}{\algo{DualPurSC}}
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\newcommand{\primaldualscone}{\algo{PrimalDualSC\_1}}
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\newcommand{\primaldualsctwo}{\algo{PrimalDualSC\_2}}
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% Beweisumgebungen
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\newtheorem*{satz}{Satz}
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@ -1127,9 +1129,88 @@ Die Qualität der Lösung hängt dabei stark vom ursprünglich bestimmten $\vec{
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\end{align*}
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\end{proof}
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\subsubsection{\primaldualscone}
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\primaldualscone{} berechnet jetzt keine optimale Lösung von $Y_\rel$ mehr:
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\begin{algorithmic}[1]
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\ForAll{$y_j$}
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\State $y_j = 1$
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\EndFor
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\For{$i \in \{1,\dots,m\}$}
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\State $x_i = 0$
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\State $\mathrm{dualer\_schlupf}[i] = 1$
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\EndFor
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\While{es ein nicht überdecktes Objekt $u_j$ gibt}
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\State bestimme eine Gruppe $S_i$ mit $u_j \in S_i$ mit minimalem $\mathrm{dualer\_schlupf}[i]$
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\State $x_i = 1$
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\State $y_j = \mathrm{dualer\_schlupf}[i]$ \Comment{$i$. Nebenbedingung scharf: $x_i = \sum_{j: u_j \in S_i} y_j$}
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\ForAll{$i'$ mit $u_j \in S_{i'}$}
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\State $\mathrm{dualer\_schlupf}[i'] = \mathrm{dualer\_schlupf}[i'] - y_j$ \Comment{Aktualisieren des dualen Schlupfs}
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\EndFor
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\EndWhile
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\State \Return $(x_1, \dots, x_m)$
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\end{algorithmic}
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\begin{satz}
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\primaldualscone{} gibt eine Überdeckung der relativen Güte $\Delta_S$ nach Zeit $\bigO(n\cdot m)$ aus.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Die While-Schleife kann bis zu $n$ mal durchlaufen werden, wobei für die Bestimmung der Gruppe mit minimalem dualen Schlupf jeweils $\bigO(m)$ Schritte benötigt werden.
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$\vec{y}$ ist zu Beginn eine zulässige Lösung und jeder Eintrag wird nur maximal einmal verändert, also ist auch $\vec{y}$ auch am Ende eine zulässige Lösung. Für die Qualität kann die Rechnung für \dualpursc{} erneut verwendet werden.
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\end{proof}
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\subsection{Analyse bestehender Algorithmen für \setcover}
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Ein bestehender Algorithmus, der eine 0-1-Lösung des ursprünglichen ILPs $X$ berechnet, wird so erweitert, dass er gleichzeitig eine zulässige Lösung $\vec{y}$ für $Y_\rel$ konstruiert.
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Da $\vec{x}$ und $\vec{y}$ von einander abhängen, hängt auch $z(\vec{x})$ von $\vec{y}$ ab.
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Kann daraus der Wert $\zeta(\vec{y})$ isoliert werden, kann eine obere Schranke des Wertes der Lösung zu $I$ berechnet werden.
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\subsubsection{\primaldualsctwo}
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Ein bestehender gieriger Algorithmus, der immer die Gruppe wählt, die am meisten noch nicht überdeckte Objekte überdeckt, wird so erweitert, dass man die Dualität der LP zur Analyse verwenden kann.
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Es sei $\mathcal{H}(n) = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$ die $n$. harmonische Zahl.
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Für sie gilt die Ungleichung $\mathcal{H}(n) \leq \ln n + 1$.
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\begin{algorithmic}[1]
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\ForAll{$i\in \{1,\dots, m\}$}
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\State $x_i = 0$
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\EndFor
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\State $C = \emptyset$ \Comment{$C$ enthält die schon überdeckten Objekte}
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\While{$C\neq V$}
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\State bestimme einen Index $i$ mit maximalem $\abs{S_i \setminus C}$
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\State $x_i = 1$
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\ForAll{$u_j\in S_i \setminus C$}
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\State $p[u_j] = \frac{1}{\abs{S_i \setminus C}}$ \Comment{$x_i = 1$ und $\sum_{u_j\in S_i \setminus C} p[u_j] = 1$}
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\State $y_j = \frac{1}{\mathcal{H}(G_S)} \cdot p[u_j]$ \Comment{$\mathcal{H}(G_S) \cdot y_j = p[u_j]$}
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\EndFor
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\State $C = C \cup S_i$
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\EndWhile
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\State\Return $(x_1, \dots, x_m)$
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\end{algorithmic}
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\begin{satz}
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\primaldualsctwo{} liefert eine Überdeckung der relativen Güte $\mathcal{H}(G_S)$ in Zeit $\bigO(n\cdot m)$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Erneut kann die While-Schleife maximal $n$ Mal durchlaufen werden, und die Bestimmung des Index $i$ kann $\bigO(m)$ Schritte dauern.
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Zunächst ist zu zeigen, dass $\vec{y}$ eine zulässige Lösung von $Y_\rel$ bildet:
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Betrachte die $i$. Nebenbedingung und die zugehörige Gruppe $S_i = \{u_{j_1},\dots,u_{j_k}\}$, wobei die Objekte in o.B.d.A. genau dieser Reihenfolge durch den Algorithmus überdeckt worden sein sollen.
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Es gilt $k \le G_S$.
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Nun wird die Runde betrachtet, in der $u_{j_l}$ überdeckt wurde.
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Wäre $S_i$ in dieser Runde gewählt worden, wären neben $u_{j_1}$ noch $k - l$ weitere Objekte unüberdeckt.
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Die tatsächlich gewählte Gruppe trifft also noch mindestens $k - l + 1$ Objekte inklusive $u_{j_l}$.
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Damit gilt $p[u_{j_l}] \le \frac{1}{k - l + 1}$ und
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\begin{equation*}
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y_{j_l} \le \frac{1}{\mathcal{H}(G_S)}\cdot \frac{1}{k - l + 1}
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\end{equation*}
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Folglich ist die $i$. Nebenbedingung des Duals erfüllt mit
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\begin{equation*}
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\sum_{l=1}^{k} y_{j_l} \le \frac{1}{\mathcal{H}(G_S)} \cdot \sum_{l=1}^{k} \frac{1}{k - l + 1} = \frac{\mathcal{H}(k)}{\mathcal{H}(G_S)} \le 1
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\end{equation*}
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Für die ausgegebene Überdeckung gilt
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\begin{equation*}
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\primaldualsctwo(S) = \sum_{i=1}^{m} x_i = \sum_{j=1}^{n}p[u_j] = \mathcal{H}(G_S) \cdot \sum_{j=1}^{n} y_j \le \mathcal{H}(G_S) \cdot \opt(S)
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\end{equation*}
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\end{proof}
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Mit $G_S \le n$ folgt unmittelbar, die relative Gütegarantie von $\ln n + 1$ von \primaldualsctwo{}.
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\end{document}
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