Übung 3: Planare Graphen

zusammenfassung.tex

@@ -59,6 +59,7 @@
 \newcommand{\greedycol}{\algo{GreedyCol}}
 \newcommand{\greedycoltwo}{\algo{GreedyCol2}}
 \newcommand{\greedycoledge}{\algo{GreedyColEdge}}
+\newcommand{\greedyplanarcol}{\algo{GreedyPlanarCol}}
 \newcommand{\vertices}{\mathrm{V}}
 \newcommand{\edges}{\mathrm{E}}
 \newcommand{\degree}{\mathrm{deg}}
@@ -242,6 +243,39 @@ Eine äquivalente Charakterisierung ist: Das NP-vollständige Entscheidungsprobl
 	\item \rucksack{} ist schwach NP-vollständig, weil es einen pseudo-polynomiellen Algorithmus für die Optimierungsvariante gibt, der auch für das Entscheidungsproblem verwendet werden kann.
 \end{itemize}
 
+\subsection{Planarer Graph}
+Ein planarer Graph kann so auf einer Kugel dargestellt werden, dass sich keine seiner Kanten kreuzen.
+\begin{satz}[Eulerscher Polyedersatz]
+	Für einen beliebigen zusammenhängenden planaren Graph mit $n$ Knoten, $m$ Kanten und $f$ Facetten gilt:
+	\begin{equation*}
+		n - m + f = 2
+	\end{equation*}
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis durch Induktion]
+	\begin{itemize}
+		\item Induktionsanfang: Für einen Knoten gilt $1 - 0 + 1 =2$.
+		\item Induktionsschritt: Fallunterscheidung:\begin{itemize}
+			\item Hinzufügen einer Ecke: Die Ecke wird mit einer bestehenden Kante verbunden (zusammenhängender Graph), also gilt $n + 1 - (m + 1) + f = n - m +f = 2$.
+			\item Hinzufügen einer Kante: Eine bestehende Fläche wird in zwei geteilt, also gilt $n - (m + 1) + f + 1 = n - m + f = 2$.
+		\end{itemize}
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+	Für einen planaren Graph gilt
+	\begin{equation*}
+		m \le 3\cdot n - 6
+	\end{equation*}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}
+	Ein planarer Graph enthält mindestens einen Knoten mit Grad 5 oder weniger.
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis durch Widerspruch]
+	Nähme man an, dass einen planaren Graphen mit lediglich Knoten vom Grad 6 oder höher gibt, muss dieser Graph $m = 3\cdot n$ Knoten haben.
+	Es folgt dann der Widerspruch $n = 3\cdot m \not\le 3\cdot m - 6$.	
+\end{proof}
+
 \section{Absolute Gütegarantie}
 \subsection{Definition}
 \begin{enumerate}
@@ -502,6 +536,29 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P
 	$\Delta(G) - 1$-Zeuge gegen \greedycol: TODO (Abbildung 2.1)
 \end{zeuge}
 
+\subsection{\greedyplanarcol}
+\begin{algorithmic}[1]
+	\If{$G$ ist knoten-2-färbbar}
+		\State \Return berechne Knoten-2-Färbung
+	\EndIf
+	\State wähle Knoten $u$ mit höchstem Grad $\Gamma(u)$ \Comment{$\Gamma(u) \le 5$}
+	\State entferne $u$ und seine $\Gamma(u) \le 5$ Kanten aus $G$
+	\ForAll{übrige Teilgraphen $G_i$} \Comment{$1 \le i \le \Gamma(u)$}
+		\State $c_\vertices = c_\vertices \cup \greedyplanarcol(G_i)$
+	\EndFor
+	\State $c_\vertices(u) =$ kleinste der freien Farbe aus $\{1, \dots, 6\}$
+	\State \Return $c_\vertices$
+\end{algorithmic}
+\begin{satz}
+	\greedyplanarcol{} hat eine maximale Gütegarantie von $\kappa_\greedyplanarcol(n) = 3$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Ist $G$ knoten-2-färbbar, so liefert \greedyplanarcol{} auch eine Knoten-2-Färbung zurück. Es gilt also im Folgenden $\opt(G) \ge 3$ und damit
+	\begin{equation*}
+		\kappa_\greedyplanarcol(n) = \abs{\greedyplanarcol(G) - \opt(G)} \le \abs{6 - 3} = 3
+	\end{equation*}
+\end{proof}
+
 \subsection{\greedycoltwo}
 \begin{algorithmic}[1]
 	\State $t = 1, V^{(1)} = V$