Übung 3: Planare Graphen

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Marco Ammon 2020-10-16 20:29:30 +02:00
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@ -59,6 +59,7 @@
\newcommand{\greedycol}{\algo{GreedyCol}} \newcommand{\greedycol}{\algo{GreedyCol}}
\newcommand{\greedycoltwo}{\algo{GreedyCol2}} \newcommand{\greedycoltwo}{\algo{GreedyCol2}}
\newcommand{\greedycoledge}{\algo{GreedyColEdge}} \newcommand{\greedycoledge}{\algo{GreedyColEdge}}
\newcommand{\greedyplanarcol}{\algo{GreedyPlanarCol}}
\newcommand{\vertices}{\mathrm{V}} \newcommand{\vertices}{\mathrm{V}}
\newcommand{\edges}{\mathrm{E}} \newcommand{\edges}{\mathrm{E}}
\newcommand{\degree}{\mathrm{deg}} \newcommand{\degree}{\mathrm{deg}}
@ -242,6 +243,39 @@ Eine äquivalente Charakterisierung ist: Das NP-vollständige Entscheidungsprobl
\item \rucksack{} ist schwach NP-vollständig, weil es einen pseudo-polynomiellen Algorithmus für die Optimierungsvariante gibt, der auch für das Entscheidungsproblem verwendet werden kann. \item \rucksack{} ist schwach NP-vollständig, weil es einen pseudo-polynomiellen Algorithmus für die Optimierungsvariante gibt, der auch für das Entscheidungsproblem verwendet werden kann.
\end{itemize} \end{itemize}
\subsection{Planarer Graph}
Ein planarer Graph kann so auf einer Kugel dargestellt werden, dass sich keine seiner Kanten kreuzen.
\begin{satz}[Eulerscher Polyedersatz]
Für einen beliebigen zusammenhängenden planaren Graph mit $n$ Knoten, $m$ Kanten und $f$ Facetten gilt:
\begin{equation*}
n - m + f = 2
\end{equation*}
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis durch Induktion]
\begin{itemize}
\item Induktionsanfang: Für einen Knoten gilt $1 - 0 + 1 =2$.
\item Induktionsschritt: Fallunterscheidung:\begin{itemize}
\item Hinzufügen einer Ecke: Die Ecke wird mit einer bestehenden Kante verbunden (zusammenhängender Graph), also gilt $n + 1 - (m + 1) + f = n - m +f = 2$.
\item Hinzufügen einer Kante: Eine bestehende Fläche wird in zwei geteilt, also gilt $n - (m + 1) + f + 1 = n - m + f = 2$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{satz}
Für einen planaren Graph gilt
\begin{equation*}
m \le 3\cdot n - 6
\end{equation*}
\end{satz}
\begin{satz}
Ein planarer Graph enthält mindestens einen Knoten mit Grad 5 oder weniger.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis durch Widerspruch]
Nähme man an, dass einen planaren Graphen mit lediglich Knoten vom Grad 6 oder höher gibt, muss dieser Graph $m = 3\cdot n$ Knoten haben.
Es folgt dann der Widerspruch $n = 3\cdot m \not\le 3\cdot m - 6$.
\end{proof}
\section{Absolute Gütegarantie} \section{Absolute Gütegarantie}
\subsection{Definition} \subsection{Definition}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -502,6 +536,29 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P
$\Delta(G) - 1$-Zeuge gegen \greedycol: TODO (Abbildung 2.1) $\Delta(G) - 1$-Zeuge gegen \greedycol: TODO (Abbildung 2.1)
\end{zeuge} \end{zeuge}
\subsection{\greedyplanarcol}
\begin{algorithmic}[1]
\If{$G$ ist knoten-2-färbbar}
\State \Return berechne Knoten-2-Färbung
\EndIf
\State wähle Knoten $u$ mit höchstem Grad $\Gamma(u)$ \Comment{$\Gamma(u) \le 5$}
\State entferne $u$ und seine $\Gamma(u) \le 5$ Kanten aus $G$
\ForAll{übrige Teilgraphen $G_i$} \Comment{$1 \le i \le \Gamma(u)$}
\State $c_\vertices = c_\vertices \cup \greedyplanarcol(G_i)$
\EndFor
\State $c_\vertices(u) =$ kleinste der freien Farbe aus $\{1, \dots, 6\}$
\State \Return $c_\vertices$
\end{algorithmic}
\begin{satz}
\greedyplanarcol{} hat eine maximale Gütegarantie von $\kappa_\greedyplanarcol(n) = 3$.
\end{satz}
\begin{proof}
Ist $G$ knoten-2-färbbar, so liefert \greedyplanarcol{} auch eine Knoten-2-Färbung zurück. Es gilt also im Folgenden $\opt(G) \ge 3$ und damit
\begin{equation*}
\kappa_\greedyplanarcol(n) = \abs{\greedyplanarcol(G) - \opt(G)} \le \abs{6 - 3} = 3
\end{equation*}
\end{proof}
\subsection{\greedycoltwo} \subsection{\greedycoltwo}
\begin{algorithmic}[1] \begin{algorithmic}[1]
\State $t = 1, V^{(1)} = V$ \State $t = 1, V^{(1)} = V$