Dualität

zusammenfassung.tex

@@ -36,6 +36,9 @@
 
 \newcommand{\cupdot}{\mathbin{\mathaccent\cdot\cup}}
 
+\newcommand{\transposed}[1]{#1^{\mathrm{T}}}
+\DeclareMathOperator{\row}{row}
+
 % Notation
 \newcommand{\bigO}{\mathcal{O}}
 \newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
@@ -1013,4 +1016,59 @@ $\lasvegasscr$ ist ein sogenannter Las-Vegas-Algorithmus, weil er immer eine zul
 \begin{satz}
 	$\lasvegassc[\ln n + 1]$ garantiert eine relative erwartete Güte von $\ln n + 1$. Der Erwartungswert für die Anzahl der Iterationen der Schleife ist $\left(\frac{e}{e - 1}\right)^2 < 2.503$.
 \end{satz}
-\end{document}
+
+% TODO: Umorganisieren: (I)LP sowie Arithmetisierungen in Allgemeine Definitionen, Dualität als eigene section?
+\subsection{Dualität von LP}
+Ein LP für ein o.B.d.A. Minimierungsproblem kann wie folgt geschrieben werden:
+\begin{align*}
+	\min &\quad z(\vec{x}) = \transposed{\vec{c}} \cdot \vec{x}\\
+	\text{gemäß} &\quad A \cdot \vec{x} \ge \vec{b}\\
+	&\quad \vec{x} \ge \vec{0}
+\end{align*}
+Es bezeichnen $\row_i\left[A\right]$ die $i$. Zeile der Matrix $A$ und $\row_i\left[A\right] \cdot \vec{x} \ge b_i$ die $i$. Nebenbedingung des LP.
+
+Mit $\vec{y} \ge \vec{0}$ können folgende neue Nebenbedingungen erzeugt werden, die ebenfalls von jeder zulässigen Lösung erfüllt werden:
+\begin{equation*}
+	\transposed{\vec{y}} \cdot A \cdot \vec{x} \ge \transposed{\vec{y}}\cdot \vec{b}
+\end{equation*}
+Wählt man die $y_j$ so, dass die aus ihnen berechneten Koeffizienten der $x_i$ kleiner als die jeweiligen $c_i$, gilt für diese $\vec{y}$: $z(\vec{x}) \ge \transposed{\vec{y}} \cdot A\cdot \vec{x} \ge \transposed{\vec{y}}\cdot \vec{b}$ für alle zulässigen Lösungen $\vec{x}$.
+Damit bildet $\transposed{\vec{y}} \cdot \vec{b}$ eine untere Schranke für den Wert einer optimalen Lösung.
+Diese untere Schranke kann folglich mit dem sogenannten dualen LP maximiert werden:
+\begin{align*}
+	\max &\quad \zeta(\vec{y}) = \transposed{\vec{b}} \cdot \vec{y}\\
+	\text{gemäß} &\quad \transposed{A} \cdot \vec{y} \le \vec{c}\\
+	&\quad \vec{y} \ge \vec{0}
+\end{align*}
+\begin{satz}
+	Jede zulässige Lösung $\vec{y}$ liefert eine untere Schranke $\zeta(\vec{y})$ für die Zielfunktion $z(x)$ für alle zulässigen Lösungen des Primals.
+	Damit gilt die als schwache Dualität bezeichnete Beziehung
+	\begin{equation*}
+		\zeta(\vec{y}) \le z(\vec{x})
+	\end{equation*}
+\end{satz}
+\begin{satz}
+	Für optimale Lösungen $\vec{x}_\mathrm{opt}$ des Primals beziehungsweise $\vec{y}_\mathrm{opt}$ des Duals gilt $z(\vec{x}_\mathrm{opt}) = \zeta(\vec{y}_\mathrm{opt})$.
+\end{satz}
+
+Man bezeichnet die Differenz zwischen dem Wert einer Nebenbedingung und ihrer Grenze als Schlupf.
+Der primale Schlupf der $j$. Nebenbedingung des Duals ist also $p_j = \row_j\left[A\right] \cdot \vec{x} - b_j$; der duale Schlupf der $i$. Nebenbedingung des Duals $s_i = c_i - \row_i\left[\transposed{A}\right] \cdot \vec{y}$
+Beträgt der Schlupf 0, so ist die Nebenbedingung scharf.
+
+\begin{satz}[Satz vom komplementären Schlupf]
+	Seien $\vec{x}$ und $\vec{y}$ zulässige Lösungen des Primals beziehungsweise Duals.
+	Sie sind genau dann optimale Lösungen, wenn für alle $i$ und $j$ $y_j \cdot \left(\row_j\left[A\right] \cdot \vec{y} - b_j\right) = 0$ und $\left(c_i - \row_i\left[\transposed{A}\right]\cdot \vec{y}\right) \cdot x_i =0$ gilt.
+	Die Bedingung können auch als
+	\begin{align*}
+		y_j > 0 &\Rightarrow \row_j\left[A\right]\cdot\vec{x} = b_j\\
+		x_i > 0 &\Rightarrow \row_i\left[\transposed{A}\right] \cdot \vec{y} = c_i
+	\end{align*}
+	formuliert werden.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}
+	Sei $\Pi$ ein Minimierungsproblem, $I$ eine Instanz von $\Pi$, $X$ das zu $I$ gehörige ILP, $X_\rel$ dessen Relaxierung und $Y_\rel$ das Dual zu $X_\rel$ sowie $\vec{x}$ und $\vec{y}$ beliebige zulässige Lösungen von $X$ bzw. $Y_\rel$, dann gilt:
+	\begin{equation*}
+		\zeta(\vec{y}) \le \opt(Y_\rel) = \opt(X_\rel) \le \opt(X) = \opt(I) \le z(\vec{x})
+	\end{equation*}
+\end{satz}
+\end{document}