Hybrider Ansatz

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@@ -735,4 +735,43 @@ Damit kann dann der Algorithmus $B$ gebildet werden, der \problem{Max-SAT} appro
 \begin{satz}
 	Mit $\pi(x) = \frac{1}{2}\cdot x + \frac{1}{4}$ oder $1 - \frac{1}{4^x} \le \pi(x) \le 4^{x-1}$ kann Algorithmus $B$ sogar eine erwartete relative Güte von $\frac{4}{3}$ erreichen.
 \end{satz}
+
+\subsection{Hybrider Ansatz durch Kombination mehrerer Verfahren}
+Aus den bestimmten Gütegarantien lässt sich ablesen, dass Algorithmus $A$ besonders gut für Formeln geeignet ist, die keine Klauseln aus nur einem Literal enthalten. Algorithmus $B$ eignet sich allgemein gut, wenn die auftretenden Klauseln kurz sind.
+
+Beide Verfahren können nun automatisch kombiniert werden, um eine insgesamt bessere Gütegarantie zu erreichen.
+Dier erste Möglichkeit hierzu ist der Algorithmus $C_{p_A}$:
+\begin{algorithmic}[]
+	\State \Return $\begin{cases*}
+		A(\Phi) & mit Wahrscheinlichkeit $p_A$\\
+		B(\Phi) & mit Wahrscheinlichkeit $1 - p_A$
+	\end{cases*}$
+\end{algorithmic}
+Alternativ startet der Algorithmus $C_\mathrm{alle}$ immer beide Algorithmen:
+\begin{algorithmic}[]
+	\State $b_A = A(\Phi)$
+	\State $b_B = B(\Phi)$
+	\State \Return $\max\{b_A, b_B\}$
+\end{algorithmic}
+
+Es gilt offensichtlich \begin{equation*}
+	E\left[C_\mathrm{alle}(\Phi)\right] \ge E\left[C_{p_A}(\Phi)\right] = p_A \cdot E\left[A(\Phi)\right] + \left(1 - p_A\right) \cdot E\left[B(\Phi)\right]
+\end{equation*} für alle $p_A \in \left[0, 1\right]$.
+
+\begin{satz}
+	Der Algorithmus $C_{\frac{1}{2}}$ hat eine erwartete relative Güte von $\frac{4}{3}$
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Es sind folgende Erwartungswerte bekannt:
+	\begin{align*}
+		E\left[A(\Phi)\right] & = \sum_{k=1}^{n} \sum_{C_j\,\text{hat}\,k\,\text{Literale}} \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \overset{0 \le \hat{Z}_j \le 1}{\ge} \sum_{k=1}^{n} \sum_{C_j\,\text{hat}\,k\,\text{Literale}} \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \cdot \hat{Z}_j\\
+		E\left[B(\Phi)\right] &\ge \sum_{k=1}^{n} \sum_{C_j\,\text{hat}\,k\,\text{Literale}} \left(1 - \left(1 - \frac{1}{k}\right)^k\right)\cdot \hat{Z}_j
+	\end{align*}
+	Es folgt also für $C_\frac{1}{2}$:
+	\begin{align*}
+		E\left[C_{\frac{1}{2}}(\Phi)\right] &\ge \frac{1}{2} \cdot \sum_{k=1}^{n} \sum_{C_j\,\text{hat}\,k\,\text{Literale}} \underbrace{\left(1 - \frac{1}{2^k} + 1 - \left(1 - \frac{1}{k}\right)^k\right)}_{\ge \frac{3}{2}}\cdot \hat{Z}_j\\
+		& \ge \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot \sum_{k=1}^{n} \sum_{C_j\,\text{hat}\,k\,\text{Literale}} \hat{Z}_j\\
+		&= \frac{3}{4}\sum_{j=1}^{m} \hat{Z}_j \ge \frac{3}{4}\cdot \opt(\Phi)
+	\end{align*}
+\end{proof}
 \end{document}