Hybrider Ansatz

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Marco Ammon 2020-10-15 12:30:14 +02:00
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@ -735,4 +735,43 @@ Damit kann dann der Algorithmus $B$ gebildet werden, der \problem{Max-SAT} appro
\begin{satz} \begin{satz}
Mit $\pi(x) = \frac{1}{2}\cdot x + \frac{1}{4}$ oder $1 - \frac{1}{4^x} \le \pi(x) \le 4^{x-1}$ kann Algorithmus $B$ sogar eine erwartete relative Güte von $\frac{4}{3}$ erreichen. Mit $\pi(x) = \frac{1}{2}\cdot x + \frac{1}{4}$ oder $1 - \frac{1}{4^x} \le \pi(x) \le 4^{x-1}$ kann Algorithmus $B$ sogar eine erwartete relative Güte von $\frac{4}{3}$ erreichen.
\end{satz} \end{satz}
\subsection{Hybrider Ansatz durch Kombination mehrerer Verfahren}
Aus den bestimmten Gütegarantien lässt sich ablesen, dass Algorithmus $A$ besonders gut für Formeln geeignet ist, die keine Klauseln aus nur einem Literal enthalten. Algorithmus $B$ eignet sich allgemein gut, wenn die auftretenden Klauseln kurz sind.
Beide Verfahren können nun automatisch kombiniert werden, um eine insgesamt bessere Gütegarantie zu erreichen.
Dier erste Möglichkeit hierzu ist der Algorithmus $C_{p_A}$:
\begin{algorithmic}[]
\State \Return $\begin{cases*}
A(\Phi) & mit Wahrscheinlichkeit $p_A$\\
B(\Phi) & mit Wahrscheinlichkeit $1 - p_A$
\end{cases*}$
\end{algorithmic}
Alternativ startet der Algorithmus $C_\mathrm{alle}$ immer beide Algorithmen:
\begin{algorithmic}[]
\State $b_A = A(\Phi)$
\State $b_B = B(\Phi)$
\State \Return $\max\{b_A, b_B\}$
\end{algorithmic}
Es gilt offensichtlich \begin{equation*}
E\left[C_\mathrm{alle}(\Phi)\right] \ge E\left[C_{p_A}(\Phi)\right] = p_A \cdot E\left[A(\Phi)\right] + \left(1 - p_A\right) \cdot E\left[B(\Phi)\right]
\end{equation*} für alle $p_A \in \left[0, 1\right]$.
\begin{satz}
Der Algorithmus $C_{\frac{1}{2}}$ hat eine erwartete relative Güte von $\frac{4}{3}$
\end{satz}
\begin{proof}
Es sind folgende Erwartungswerte bekannt:
\begin{align*}
E\left[A(\Phi)\right] & = \sum_{k=1}^{n} \sum_{C_j\,\text{hat}\,k\,\text{Literale}} \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \overset{0 \le \hat{Z}_j \le 1}{\ge} \sum_{k=1}^{n} \sum_{C_j\,\text{hat}\,k\,\text{Literale}} \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) \cdot \hat{Z}_j\\
E\left[B(\Phi)\right] &\ge \sum_{k=1}^{n} \sum_{C_j\,\text{hat}\,k\,\text{Literale}} \left(1 - \left(1 - \frac{1}{k}\right)^k\right)\cdot \hat{Z}_j
\end{align*}
Es folgt also für $C_\frac{1}{2}$:
\begin{align*}
E\left[C_{\frac{1}{2}}(\Phi)\right] &\ge \frac{1}{2} \cdot \sum_{k=1}^{n} \sum_{C_j\,\text{hat}\,k\,\text{Literale}} \underbrace{\left(1 - \frac{1}{2^k} + 1 - \left(1 - \frac{1}{k}\right)^k\right)}_{\ge \frac{3}{2}}\cdot \hat{Z}_j\\
& \ge \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot \sum_{k=1}^{n} \sum_{C_j\,\text{hat}\,k\,\text{Literale}} \hat{Z}_j\\
&= \frac{3}{4}\sum_{j=1}^{m} \hat{Z}_j \ge \frac{3}{4}\cdot \opt(\Phi)
\end{align*}
\end{proof}
\end{document} \end{document}