DualPurSC

zusammenfassung.tex

@@ -93,6 +93,7 @@
 \newcommand{\randroundscr}{\algo{RandRoundSC}[r]}
 \newcommand{\lasvegassc}{\algo{LasVegasSC}}
 \newcommand{\lasvegasscr}{\lasvegassc[r]}
+\newcommand{\dualpursc}{\algo{DualPurSC}}
 
 % Beweisumgebungen
 \newtheorem*{satz}{Satz}
@@ -404,7 +405,7 @@ Sei $\Pi$ ein Optimierungsproblem und $A$ ein Approximationsalgorithmus für $\P
 	Wenn es für eine Optimierungsvariante eines stark NP-vollständigen Problems ein FPAS gibt, dann folgt $P = NP$.
 \end{satz}
 
-\section{\greedyis für \is}
+\section{\greedyis{} für \is}
 \begin{algorithmic}[1]
 	\State $U = \emptyset, t = 0, V^{(0)} = V$
 	\While{$V^{(t)} \neq \emptyset$}
@@ -940,9 +941,9 @@ Damit lautet das ILP $X$ für \setcover:
 	\end{equation*}
 	Damit wird für jedes $u$ mindestens ein überdeckendes $S_i$ aufgenommen, also stellt die Ausgabe eine Überdeckung dar.
 	
-	Weil für jede Gruppe $S_i \in S_\cov$ $\Delta_s \cdot x_i \ge 1$ gilt, folgt für die Qualität der Ausgabe
+	Weil für jede Gruppe $S_i \in S_\cov$ $\Delta_S \cdot x_i \ge 1$ gilt, folgt für die Qualität der Ausgabe
 	\begin{equation*}
-		\detroundsc(S) = \abs{S_\cov} \le \sum_{i=1}^{m} \Delta_s \cdot x_i =\Delta_S \cdot \sum_{i=1}^{m} x_i = \Delta_S \cdot \opt(X_\rel) \le \Delta_S \cdot \opt(S)
+		\detroundsc(S) = \abs{S_\cov} \le \sum_{i=1}^{m} \Delta_S \cdot x_i =\Delta_S \cdot \sum_{i=1}^{m} x_i = \Delta_S \cdot \opt(X_\rel) \le \Delta_S \cdot \opt(S)
 	\end{equation*}
 \end{proof}
 
@@ -1019,7 +1020,8 @@ $\lasvegasscr$ ist ein sogenannter Las-Vegas-Algorithmus, weil er immer eine zul
 \end{satz}
 
 % TODO: Umorganisieren: (I)LP sowie Arithmetisierungen in Allgemeine Definitionen, Dualität als eigene section?
-\subsection{Dualität von LP}
+\section{Ausnutzen der Dualität von Linearen Programmen}
+\subsection{Herleitung der Dualität}
 Ein LP für ein o.B.d.A. Minimierungsproblem kann wie folgt geschrieben werden:
 \begin{align*}
 	\min &\quad z(\vec{x}) = \transposed{\vec{c}} \cdot \vec{x}\\
@@ -1074,15 +1076,58 @@ Beträgt der Schlupf 0, so ist die Nebenbedingung scharf.
 	\end{equation*}
 \end{satz}
 
-\subsection{Verwendung der Dualität für Approximationsalgorithmen}
-\subsubsection{Entwurf neuer Algorithmen mittels Dual Fitting}
+\subsection{Lineare Programme für \setcover}
+\subsubsection{Primal $X$}
+\begin{align*}
+	\min &\quad \sum_{i=1}^{m} x_i\\
+	\text{gemäß} &\quad \sum_{i: u_j \in S_i} x_i \ge 1 &\forall u_j \in V\\
+	&\quad x_i \in \{0,1\} &\forall i \in \{1,\dots, m\}
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Relaxiertes Dual $Y_\rel$}
+\begin{align*}
+	\max &\quad \sum_{j=1}^{n} y_j\\
+	\text{gemäß} &\quad \sum_{j: u_j \in S_i} y_j \le 1 &\forall S_i \in S\\
+	&\quad 0 \le y_j \le 1 &\forall j \in \{1,\dots, n\}
+\end{align*}
+
+
+\subsection{Entwurf neuer Algorithmen für \setcover{} mittels Dual Fitting}
 Beim Dual-Fitting wird allgemein versucht, \Cref{eq:dualer-schlupf} zu erfüllen.
 Zunächst wird dazu eine zulässige Lösung $\vec{y}$ des Duals bestimmt, bei der einige Nebenbedingungen scharf sind.
 Die den scharfen Nebenbedingungen entsprechenden Variablen $x_i$ des Primals werden dann als Approximation auf 1 gesetzt, die anderen auf 0.
 Das so entstandene $\vec{x}$ gibt mit $z(\vec{x})$ eine obere Schranke an.
-Die Qualität der Lösung hängt dabei stark von der Qualität des ursprünglich bestimmten $\vec{y}$ ab.
+Die Qualität der Lösung hängt dabei stark vom ursprünglich bestimmten $\vec{y}$ ab.
 
-\subsubsection{Analyse bestehender Algorithmen}
+\subsubsection{\dualpursc}
+\dualpursc{} löst das relaxierte Dual optimal und baut damit eine zulässige 0-1-Lösung für $X$:
+\begin{algorithmic}[1]
+	\State bestimme optimale Lösung $\vec{y}$ des relaxierten Duals $Y_\rel$
+	\For{$i \in \{1,\dots,m\}$}
+		\If{$i$. Nebenbedingung von $Y_\rel$ ist scharf}
+			\State $x_i = 1$ \Comment{mit erfüllter Nebenbedingung folgt $\sum_{j: u_j \in S_i} y_j = x_i$}
+		\Else
+			\State $x_i = 0$
+		\EndIf
+	\EndFor
+	\State \Return $(x_1,\dots, x_m)$
+\end{algorithmic}
+\begin{satz}
+	\dualpursc{} liefert eine Überdeckung der relativen Güte $\Delta_S$ in Zeit $\bigO(m + L(mn, n))$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Die Ausgabe ist eine Überdeckung, weil bei einer Nichtüberdeckung eines Objekts $u_i$ alle $x_i$ für $S_i \in S$ mit $u_j \in S_i$ gleich 0 wären.
+	Dann wäre auch der duale Schlupf der zugehörigen $i$. Nebenbedingung nicht 0 und $y_j$ könnte vergrößert werden.
+	Damit ist die ursprüngliche Lösung $\vec{y}$ aber nicht optimal gewesen.
+	
+	Da für jedes $i$ mit $x_i = 1$ gilt $\sum_{j: u_j \in S_i} y_j = 1$, folgt für die Qualität der Lösung:
+	\begin{align*}
+		\dualpursc(S) &= \sum_{i=1}^{m} x_i = \sum_{i: x_i = 1} 1 = \sum_{i: x_i = 1} \sum_{j: u_j \in S_i} y_j \le \Delta_S \cdot \sum_{j=1}^{n} y_j\\
+		&= \Delta_S \cdot \opt(Y_\rel) \le \Delta_S \cdot \opt(S)
+	\end{align*}
+\end{proof}
+
+\subsection{Analyse bestehender Algorithmen für \setcover}
 Ein bestehender Algorithmus, der eine 0-1-Lösung des ursprünglichen ILPs $X$ berechnet, wird so erweitert, dass er gleichzeitig eine zulässige Lösung $\vec{y}$ für $Y_\rel$ konstruiert.
 Da $\vec{x}$ und $\vec{y}$ von einander abhängen, hängt auch $z(\vec{x})$ von $\vec{y}$ ab.
 Kann daraus der Wert $\zeta(\vec{y})$ isoliert werden, kann eine obere Schranke des Wertes der Lösung zu $I$ berechnet werden.