Abstrakte Verwendung der Dualität

zusammenfassung.tex

@@ -24,6 +24,7 @@
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 %\usepackage{xcolor}
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+\usepackage[ngerman]{cleveref}
 
 % Formatierung
 \newcommand*{\algo}[1]{\textsc{#1}}
@@ -1058,11 +1059,12 @@ Beträgt der Schlupf 0, so ist die Nebenbedingung scharf.
 	Seien $\vec{x}$ und $\vec{y}$ zulässige Lösungen des Primals beziehungsweise Duals.
 	Sie sind genau dann optimale Lösungen, wenn für alle $i$ und $j$ $y_j \cdot \left(\row_j\left[A\right] \cdot \vec{y} - b_j\right) = 0$ und $\left(c_i - \row_i\left[\transposed{A}\right]\cdot \vec{y}\right) \cdot x_i =0$ gilt.
 	Die Bedingung können auch als
-	\begin{align*}
-		y_j > 0 &\Rightarrow \row_j\left[A\right]\cdot\vec{x} = b_j\\
-		x_i > 0 &\Rightarrow \row_i\left[\transposed{A}\right] \cdot \vec{y} = c_i
-	\end{align*}
+	\begin{align}
+		y_j > 0 &\Rightarrow \row_j\left[A\right]\cdot\vec{x} = b_j\label{eq:primaler-schlupf}\\
+		x_i > 0 &\Rightarrow \row_i\left[\transposed{A}\right] \cdot \vec{y} = c_i \label{eq:dualer-schlupf}
+	\end{align}
 	formuliert werden.
+	Für Approximationsalgorithmen ist vor allem die zweite Aussage wichtig.
 \end{satz}
 
 \begin{satz}
@@ -1071,4 +1073,18 @@ Beträgt der Schlupf 0, so ist die Nebenbedingung scharf.
 		\zeta(\vec{y}) \le \opt(Y_\rel) = \opt(X_\rel) \le \opt(X) = \opt(I) \le z(\vec{x})
 	\end{equation*}
 \end{satz}
+
+\subsection{Verwendung der Dualität für Approximationsalgorithmen}
+\subsubsection{Entwurf neuer Algorithmen mittels Dual Fitting}
+Beim Dual-Fitting wird allgemein versucht, \Cref{eq:dualer-schlupf} zu erfüllen.
+Zunächst wird dazu eine zulässige Lösung $\vec{y}$ des Duals bestimmt, bei der einige Nebenbedingungen scharf sind.
+Die den scharfen Nebenbedingungen entsprechenden Variablen $x_i$ des Primals werden dann als Approximation auf 1 gesetzt, die anderen auf 0.
+Das so entstandene $\vec{x}$ gibt mit $z(\vec{x})$ eine obere Schranke an.
+Die Qualität der Lösung hängt dabei stark von der Qualität des ursprünglich bestimmten $\vec{y}$ ab.
+
+\subsubsection{Analyse bestehender Algorithmen}
+Ein bestehender Algorithmus, der eine 0-1-Lösung des ursprünglichen ILPs $X$ berechnet, wird so erweitert, dass er gleichzeitig eine zulässige Lösung $\vec{y}$ für $Y_\rel$ konstruiert.
+Da $\vec{x}$ und $\vec{y}$ von einander abhängen, hängt auch $z(\vec{x})$ von $\vec{y}$ ab.
+Kann daraus der Wert $\zeta(\vec{y})$ isoliert werden, kann eine obere Schranke des Wertes der Lösung zu $I$ berechnet werden.
+
 \end{document}