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Marco Ammon 1 year ago
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@ -191,7 +191,7 @@ Die Größe der kleinsten möglichen Kantenfärbung ist der chromatische Index $
\begin{align*}
\domain &= \{\encoded*{ K_n, c} \mid K_n\, \text{vollständiger Graph auf $n$ Knoten}, c: E \mapsto \naturals,\}\\
\solution(\encoded*{ K_n, c }) &= \{ C \mid C = (v_{i_1}, v_{i_2}, \dots, v_{i_n}, v_{i_i})\,\text{ist ein Hamiltonkreis}\}\\
f(c_\edges) &= c(v_{i_n}, v_{i_1}) + \sum_{j=1}^{n-1} c(v_{i_j}, v_{i_{j+1}})\\
f(C) &= c(v_{i_n}, v_{i_1}) + \sum_{j=1}^{n-1} c(v_{i_j}, v_{i_{j+1}})\\
\ziel &= \min
\end{align*}
@ -200,7 +200,7 @@ Die Größe der kleinsten möglichen Kantenfärbung ist der chromatische Index $
\domain &= \{\encoded*{ K_n, c} \mid K_n\, \text{vollständiger Graph auf $n$ Knoten}, c: E \mapsto \naturals,\\
&\forall u, v, w \in V: \underbrace{c(u,v) \le c(u,w) + c(w, v)}_\text{Dreiecksungleichung}\}\\
\solution(\encoded*{ K_n, c }) &= \{ C \mid C = (v_{i_1}, v_{i_2}, \dots, v_{i_n}, v_{i_i})\,\text{ist ein Hamiltonkreis}\}\\
f(c_\edges) &= c(v_{i_n}, v_{i_1}) + \sum_{j=1}^{n-1} c(v_{i_j}, v_{i_{j+1}})\\
f(C) &= c(v_{i_n}, v_{i_1}) + \sum_{j=1}^{n-1} c(v_{i_j}, v_{i_{j+1}})\\
\ziel &= \min
\end{align*}
@ -230,7 +230,7 @@ Eine Boolesche $(n, m)$-Formel $\Phi = C_1 \land \dots \land C_m$ in konjunktive
\begin{align*}
\domain &= \{\encoded*{ \Phi} \mid \Phi\,\text{eine boolesche $(n,m)$-Formel in KNF}\}\\
\solution(\encoded*{ \Phi }) &= \{ b \mid b: V \mapsto \{\false{}, \true{}\}\}\\
\wahr(\Phi) &= \abs*{\{j \mid C_j \in \Phi, b(C_j) = \true{}\}}\\
\wahr(\Phi, b) &= \abs*{\{j \mid C_j \in \Phi, b(C_j) = \true{}\}}\\
\ziel &= \max
\end{align*}
@ -265,7 +265,7 @@ Berechnet ein Algorithmus $A$ in Zeit $t(\abs*{I})$ eine Ausgabe $\sigma_I^A \in
\subsection{Pseudo-polynomieller Algorithmus}
Sei $\Pi$ ein kombinatorisches Optimierungsproblem, sodass in allen Instanzen $I$ alle vorkommenden Zahlen natürliche Zahlen sind. Sei $\maxnr(I)$ die größte in $I$ vorkommende Zahl. Ein Algorithmus wird als pseudo-polynomiell bezeichnet, falls es ein Polynom $\poly(\cdot, \cdot)$ gibt, sodass für alle Instanzen $I$ seine Laufzeit $\poly(\abs*{I}, \maxnr(I))$ ist.
Kann also das Problem so eingeschränkt werden, dass für alle Instanzen $I$ die größte vorkommende Zahl durch ein Polynom begrenzt wird, also $\maxnr(I) \le q(\abs*{I})$ mit Polynom $q$ gilt, so ist auch die Laufzeit des Algorithmus polynomiell in der Eingabegröße.
Kann also das Problem so eingeschränkt werden, dass für alle Instanzen $I$ die größte vorkommende Zahl durch ein Polynom der Eingabelänge begrenzt wird, also $\maxnr(I) \le q(\abs*{I})$ mit Polynom $q$ gilt, so ist auch die Laufzeit des Algorithmus polynomiell in der Eingabegröße.
\subsection{Starke NP-Vollständigkeit}
Ein NP-vollständiges Entscheidungsproblem $L$ wird als stark NP-vollständig bezeichnet, wenn es ein Polynom $q$ gibt, sodass $L_q = \{x \mid x \in L, \maxnr(x) \le q(\abs*{x})\}$ NP-vollständig ist. Gibt es kein solches Polynom, gilt $L$ als schwach NP-vollständig.
@ -306,10 +306,6 @@ Ein planarer Graph kann so auf einer Kugel dargestellt werden, dass sich keine s
\begin{satz}
Ein planarer Graph enthält mindestens einen Knoten mit Grad 5 oder weniger.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis durch Widerspruch]
Nähme man an, dass einen planaren Graphen mit lediglich Knoten vom Grad 6 oder höher gibt, muss dieser Graph $3\cdot n \le m$ Knoten haben.
Es folgt dann der Widerspruch $3\cdot n \le m \not\le 3\cdot m - 6$.
\end{proof}
\section{Absolute Gütegarantie}
\subsection{Definition}

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