Independent Set

zusammenfassung.tex

@@ -32,6 +32,7 @@
 \newcommand{\cupdot}{\mathbin{\mathaccent\cdot\cup}}
 
 \newtheorem*{satz}{Satz}
+\newtheorem*{lemma}{Lemma}
 \newtheorem*{zeuge}{Zeuge}
 
 \newcommand*{\algo}[1]{\textsc{#1}}
@@ -183,6 +184,62 @@ Weiter lassen sich damit obere bzw. untere Schranken der Optimallösung aus eine
 \end{enumerate}
 
 \section{Das Problem der Unabhängigen Knotenmengen \problem{IS}}
+\subsection{Definition}
+\begin{align*}
+	\mathcal{D} &= \{\langle G\rangle \mid G = (V, E)\,\text{ein Graph}\}\\
+	\mathcal{S}(\langle G \rangle) &= \{ U \mid U \subseteq V, \forall u, v \in U: (u, v) \notin E\}\\
+	f(U) &= \abs{U}\\
+	\mathrm{ziel} &= \max
+\end{align*}
+
+\subsection{Algorithmen}
+\paragraph{\algo{GreedyIS}}
+\begin{algorithmic}[]
+	\State $U = \emptyset, t = 0, V^{(0)} = V$
+	\While{$V^{(t)} \neq \emptyset$}
+		\State $G^{(t)} =\, \text{der durch}\,V^{(t)}\,\text{induzierte Graph}$
+		\State $u_l =$ ein Knoten mit minimalem Grad in $G^{(t)}$
+		\State $V^{(t+1)} = V^{(t)} - \left(\{u_l\} \cup \Gamma_{G^{(t)}}(u_l)\right)$
+		\State $U = U \cup \{u_l\}$
+		\State $t = t + 1$
+	\EndWhile\\
+	\Return $U$
+\end{algorithmic}
+
+\begin{satz}
+	Sei $G$ ein knoten-$k$-färbbarer Graph, dann ist 
+	\begin{equation*}
+		\algo{GreedyIS}(G) \ge \left\lceil \log_k\left(\frac{\abs{V}}{3}\right) \right\rceil
+	\end{equation*}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	Mit dem folgenden Hilfslemma kann eine Beziehung zwischen der Anzahl der notwendigen Farben und dem minimalen Grad des Graphs hergestellt werden.
+	\begin{lemma}
+		Sei $G$ ein knoten-$k$-färbbarer Graph, dann gilt:
+		\begin{equation*}
+			\exists u \in V: \mathrm{deg}_G(u) \le \left\lfloor \left(1 - \frac{1}{k}\right) \cdot \abs{V}\right\rfloor
+		\end{equation*}
+	\end{lemma}
+	\begin{proof}
+		Da $G$ mit $k$ Farben gefärbt ist, gibt es $k$ Mengen $U_i$ an Knoten, die jeweils mit der gleichen Farbe $i$ gefärbt sind.
+		Es muss nach einem Durchschnitsargument eine Menge $U_i$ mit $\abs{U_i} \geq \left\lceil \frac{1}{k}\cdot \abs{V}\right\rceil$ geben. Jeder der Knoten $u$ in $U_i$ kann maximal mit allen Knoten aus $V \setminus U_i$ verbunden sein. Es folgt also
+		\begin{equation*}
+			\mathrm{deg}_G(u) \leq \abs{V} - \abs{U_i} \le  \abs{V} -  \left\lceil \frac{1}{k}\cdot \abs{V}\right\rceil = \left\lfloor \left(1 - \frac{1}{k}\right) \cdot \abs{V}\right\rfloor
+		\end{equation*}
+	\end{proof}
+	Zur Vereinfachung gelte $n = \abs{V}$ und $n_t = \abs{V^{(t)}}$. Es kann $k \ge 2$ angenommen werden.
+	Mit dem Hilfslemma ergibt sich für die Anzahl der Knoten folgende Rekursion:
+	\begin{align*}
+		n_0 &= n\\
+		n_{t+1} &\ge n_t - \left\lfloor \left(1 - \frac{1}{k}\right) \cdot n_t\right\rfloor -1 \ge \frac{n_t}{k} - 1
+	\end{align*}
+	Sie kann zur Ungleichung
+	\begin{equation*}
+		n_t \ge \frac{n}{k^t} - \underbrace{\frac{k}{k - 1} \cdot \left(1 - \frac{1}{k^t}\right)}_{\le 2\, \text{für $k\ge 2$}} \ge \frac{n}{k^t} - 2
+	\end{equation*}
+	aufgelöst werden. Solange $n_t \ge 1$ gilt, wird ein neuer Knoten nach $U$ gelegt. Durch Umformen obiger Ungleichung lässt sich dies für $t \ge \log_k\left(\frac{n}{3}\right)$ garantieren. Es folgt also $\abs{U} \ge \left\lceil\log_k\left(\frac{n}{3}\right)\right\rceil$.
+\end{proof}
 
 \section{Graphfärbbarkeitsprobleme}
 \subsection{Knotenfärbungsproblem}