Umsortierung -> zuerst Definitionen, dann Probleme und Algorithmen

zusammenfassung.tex

@@ -121,8 +121,70 @@ Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe
 
 Die hierbei verwendete Vorgehensweise einer Selbstreduktion sowie das \enquote{Aufblasen} des Problems (\enquote{Scaling}, \enquote{Gap Amplification}) lässt sich auch auf viele andere Probleme wie etwa \problem{SetCover} anwenden. Folglich kann eine konstante Gütegarantie nur für vergleichsweise wenig Probleme erreicht werden.
 
+\section{Relative Gütegarantie}
+\subsection{Definition}
+\begin{enumerate}
+	\item $A$ hat bei Eingabe $I$ eine relative Güte von
+	\begin{equation*}
+	\rho_A(I) = \max\left\{\frac{A(I)}{\opt(I)}, \frac{\opt(I)}{A(i)}\right\} \ge 1
+	\end{equation*}
+	\item Die relative worst-case-Güte von $A$ ist die Funktion
+	\begin{equation*}
+	\rho_A^\mathrm{wc}(n) = \max\left\{\rho_A(I)\mid I \in \mathcal{D}, \abs{i}\le n\right\}
+	\end{equation*}
+	\item $A$ garantiert eine relative Güte von $\rho_A : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt
+	\begin{equation*}
+	\rho_A^{\mathrm{wc}}(n) \le \rho_A(n)
+	\end{equation*}
+	\item $A$ macht für die Eingabe $I \in \mathcal{D}$ einen relativen Fehler von
+	\begin{equation*}
+	\varepsilon_A(I) = \frac{\abs{A(I) - \opt(I)}}{\opt(I)} = \abs{\frac{A(I)}{\opt(I)} - 1}
+	\end{equation*}
+	\item $A$ garantiert einen relativen Fehler von $\varepsilon_A(n)$, falls für alle $\{I\mid I \in \mathcal{D}, \abs{I}\le n\}$ gilt
+	\begin{equation*}
+	\varepsilon_A(I) \le \varepsilon_A(n)
+	\end{equation*}
+	\item $A$ hat eine relative Abweichung von $\rho'_A : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für unendlich viele $n$ gilt
+	\begin{equation*}
+	\rho_A^\mathrm{wc}(n) \ge \rho'_A(n)
+	\end{equation*}
+	
+	Eine unendlich große Menge $\mathcal{D}' \subseteq \mathcal{D}$ heißt $\rho'_A(n)$-Zeugenmenge gegen $A$, wenn für alle $I \in \mathcal{D}'$ gilt
+	\begin{equation*}
+	\rho_A(I) \ge \rho'_A(\abs{I})
+	\end{equation*}
+\end{enumerate}
 
-\section{Graphfärbbarkeit}
+Es folgen daraus direkt, dass
+\begin{enumerate}
+	\item bei einem Minimierungsproblem $1 + \varepsilon_A(n) = \rho_A(n)$ ist.
+	\item bei einem Maximierungsproblem $1 - \varepsilon_A(n) = \frac{1}{\rho_A(n)}$ ist.
+	\item für alle Probleme $\varepsilon_A(n) \le \rho_A(n) - 1$ ist.
+\end{enumerate}
+
+Weiter lassen sich damit obere bzw. untere Schranken der Optimallösung aus einer approximierten Lösung angeben. Es folgt, dass
+\begin{enumerate}
+	\item bei einem Minimierungsproblem gilt
+	\begin{equation*}
+	\frac{1}{\rho_A(\abs{I})} \cdot A(I) \le \opt(I) \le A(I) \le \rho_A(\abs{I})\cdot \opt(I)
+	\end{equation*}
+	\item bei einem Maximierungsproblem gilt
+	\begin{equation*}
+	\frac{1}{\rho_A(\abs{I})} \cdot \opt(I) \le A(I) \le \opt(I) \le \rho_A(\abs{I}) \cdot A(I)
+	\end{equation*}
+	\item bei beiden Problemtypen mit der Beziehung
+	\begin{equation*}
+	\abs{A(I) - \opt(I)} \le \varepsilon_A(\abs{I}) \cdot \opt(I)
+	\end{equation*}
+	gilt
+	\begin{equation*}
+	(1 - \varepsilon_A(\abs{I})) \cdot \opt(I) \le A(I) \le (1 + \varepsilon_A(\abs{I})) \cdot \opt(I)
+	\end{equation*}
+\end{enumerate}
+
+\section{Das Problem der Unabhängigen Knotenmengen \problem{IS}}
+
+\section{Graphfärbbarkeitsprobleme}
 \subsection{Knotenfärbungsproblem}
 \subsubsection{Definition}
 \begin{align*}
@@ -176,67 +238,6 @@ Die Größe der kleinsten möglichen Kantenfärbung ist der chromatische Index $
 \subsubsection{Algorithmen}
 TODO: Übung
 
-\section{Relative Gütegarantie}
-\subsection{Definition}
-\begin{enumerate}
-	\item $A$ hat bei Eingabe $I$ eine relative Güte von
-	\begin{equation*}
-		\rho_A(I) = \max\left\{\frac{A(I)}{\opt(I)}, \frac{\opt(I)}{A(i)}\right\} \ge 1
-	\end{equation*}
-	\item Die relative worst-case-Güte von $A$ ist die Funktion
-	\begin{equation*}
-		\rho_A^\mathrm{wc}(n) = \max\left\{\rho_A(I)\mid I \in \mathcal{D}, \abs{i}\le n\right\}
-	\end{equation*}
-	\item $A$ garantiert eine relative Güte von $\rho_A : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt
-	\begin{equation*}
-		\rho_A^{\mathrm{wc}}(n) \le \rho_A(n)
-	\end{equation*}
-	\item $A$ macht für die Eingabe $I \in \mathcal{D}$ einen relativen Fehler von
-	\begin{equation*}
-		\varepsilon_A(I) = \frac{\abs{A(I) - \opt(I)}}{\opt(I)} = \abs{\frac{A(I)}{\opt(I)} - 1}
-	\end{equation*}
-	\item $A$ garantiert einen relativen Fehler von $\varepsilon_A(n)$, falls für alle $\{I\mid I \in \mathcal{D}, \abs{I}\le n\}$ gilt
-	\begin{equation*}
-		\varepsilon_A(I) \le \varepsilon_A(n)
-	\end{equation*}
-	\item $A$ hat eine relative Abweichung von $\rho'_A : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für unendlich viele $n$ gilt
-	\begin{equation*}
-		\rho_A^\mathrm{wc}(n) \ge \rho'_A(n)
-	\end{equation*}
-	
-	Eine unendlich große Menge $\mathcal{D}' \subseteq \mathcal{D}$ heißt $\rho'_A(n)$-Zeugenmenge gegen $A$, wenn für alle $I \in \mathcal{D}'$ gilt
-	\begin{equation*}
-	\rho_A(I) \ge \rho'_A(\abs{I})
-	\end{equation*}
-\end{enumerate}
-
-Es folgen daraus direkt, dass
-\begin{enumerate}
-	\item bei einem Minimierungsproblem $1 + \varepsilon_A(n) = \rho_A(n)$ ist.
-	\item bei einem Maximierungsproblem $1 - \varepsilon_A(n) = \frac{1}{\rho_A(n)}$ ist.
-	\item für alle Probleme $\varepsilon_A(n) \le \rho_A(n) - 1$ ist.
-\end{enumerate}
-
-Weiter lassen sich damit obere bzw. untere Schranken der Optimallösung aus einer approximierten Lösung angeben. Es folgt, dass
-\begin{enumerate}
-	\item bei einem Minimierungsproblem gilt
-	\begin{equation*}
-		\frac{1}{\rho_A(\abs{I})} \cdot A(I) \le \opt(I) \le A(I) \le \rho_A(\abs{I})\cdot \opt(I)
-	\end{equation*}
-	\item bei einem Maximierungsproblem gilt
-	\begin{equation*}
-		\frac{1}{\rho_A(\abs{I})} \cdot \opt(I) \le A(I) \le \opt(I) \le \rho_A(\abs{I}) \cdot A(I)
-	\end{equation*}
-	\item bei beiden Problemtypen mit der Beziehung
-	\begin{equation*}
-		\abs{A(I) - \opt(I)} \le \varepsilon_A(\abs{I}) \cdot \opt(I)
-	\end{equation*}
-	gilt
-	\begin{equation*}
-		(1 - \varepsilon_A(\abs{I})) \cdot \opt(I) \le A(I) \le (1 + \varepsilon_A(\abs{I})) \cdot \opt(I)
-	\end{equation*}
-\end{enumerate}
-
 \section{Das metrische Traveling Salesperson Problem $\Delta\problem{TSP}$}
 \subsection{Definition}
 \begin{align*}