Unmöglichkeitsergebnis für volles TSP

zusammenfassung.tex

@@ -183,6 +183,45 @@ Weiter lassen sich damit obere bzw. untere Schranken der Optimallösung aus eine
 	\end{equation*}
 \end{enumerate}
 
+\subsection{Unmöglichkeitsergebnis für das allgemeine Traveling Salesperson Problem \problem{TSP}}
+\begin{satz}
+	Wenn es einen polynomiellen Approximationsalgorithmus $A$ mit konstanter relativer Gütegarantie $r$ für das volle \problem{TSP} gibt, dann gilt $P = NP$.
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis durch Reduktion]
+	Durch Benutzung von $A$ mit beliebiger konstanter relativer Gütegarantie $r \in \mathbb{N}$ kann \problem{Hamilton} auf das volle \problem{TSP} reduziert werden. Es wird also $\problem{Hamilton} \le \mathrm{p} \problem{TSP}[r]$ für alle $r$ gezeigt:
+	
+	Sei der Graph $G = (V, E)$ mit $n = \abs{V}$, gegeben. Dazu wird nun passend eine Probleminstanz $I_G = \langle K_n, c\rangle$ für \problem{TSP} erzeugt. $c$ wird wie folgt konstruiert:
+	\begin{equation*}
+		c(u,v) = \begin{cases*}
+		1 & falls $\{u, v\} \in E$ (\enquote{kurze} Kante)\\
+		\left(r - 1\right)\cdot n + 2 & sonst (\enquote{lange} Kante)
+		\end{cases*}
+	\end{equation*}
+	$I_G$ kann in Polynomzeit aus $G$ berechnet werden. Es gilt weiter:
+	\begin{itemize}
+		\item $G \in \problem{Hamilton} \Rightarrow$ kürzeste Rundreise in $I_G$ hat die Länge $n$
+		\item $G \notin \problem{Hamilton} \Rightarrow$ kürzeste Rundreise in $I_G$ nimmt mindestens eine der langen Kanten und hat damit eine Länge von mindestens
+		\begin{equation*}
+		(r - 1) \cdot n + 2 + n - 1 = r \cdot n +1 > r \cdot n
+		\end{equation*}
+		\item $I_G$ besitzt keine zulässige Lösung $\sigma$ mit $n + 1\le c(\sigma) \le r \cdot n$.
+	\end{itemize}
+
+	
+	Durch den folgenden Algorithmus kann also \problem{Hamilton} entschieden werden:
+	\begin{algorithmic}[]
+		\State konstruiere $I_G$
+		\State approximiere mit $A$ eine kürzeste Rundreise $A(I_G)$
+		\If{$A(I_G) > r \cdot \abs{V}$}
+			\State \Return $G \notin \problem{Hamilton}$
+		\Else
+			\State \Return $G \in \problem{Hamilton}$
+		\EndIf
+	\end{algorithmic}
+\end{proof}
+
+Der Ansatz der Konstruktion von Probleminstanzen anderer $NP$-schwerer Probleme und der anschließenden Verwendung eines Scaling-Arguments kann auch für weitere Probleme verwendet werden. Ebenfalls können damit bestimmte Bereiche für mögliche konstante relative Gütegarantien ausgeschlossen werden, etwa $\rho < \frac{3}{2}$ bei \problem{BinPacking}.
+
 \section{Das Problem der Unabhängigen Knotenmengen \problem{IS}}
 \subsection{Definition}
 \begin{align*}
@@ -202,8 +241,8 @@ Weiter lassen sich damit obere bzw. untere Schranken der Optimallösung aus eine
 		\State $V^{(t+1)} = V^{(t)} - \left(\{u_l\} \cup \Gamma_{G^{(t)}}(u_l)\right)$
 		\State $U = U \cup \{u_l\}$
 		\State $t = t + 1$
-	\EndWhile\\
-	\Return $U$
+	\EndWhile
+	\State \Return $U$
 \end{algorithmic}
 
 \begin{satz}
@@ -260,8 +299,8 @@ Die Größe der kleinsten möglichen Knotenfärbung ist die chromatische Zahl $\
 	\EndFor
 	\ForAll{$i \in [1,\dots, \abs{V}]$}
 		\State $c_\mathrm{V}(u_i) = \min\{\mathbb{N}\setminus\{c_\mathrm{V}(\Gamma(u_i))\}\}$
-	\EndFor\\
-	\Return $c_\mathrm{V}$
+	\EndFor
+	\State\Return $c_\mathrm{V}$
 \end{algorithmic}
 
 \begin{satz}
@@ -292,8 +331,8 @@ Die Größe der kleinsten möglichen Knotenfärbung ist die chromatische Zahl $\
 		\State färbe alle Knoten in $U_t$ mit Farbe $t$
 		\State $V^{(t+1)} = V^{(t)} - U_t$
 		\State $t = t + 1$
-	\EndWhile\\
-	\Return berechnete Färbung
+	\EndWhile
+	\State \Return berechnete Färbung
 \end{algorithmic}
 
 \begin{satz}
@@ -354,8 +393,8 @@ Der Algorithmus von Christofides (\algo{CH}) geht wie folgt vor:
 	\State $S = \{v \in T_\mathrm{CH} \mid \mathrm{deg}_{T_\mathrm{CH}}(v)\, \text{ungerade}\}$ \Comment{$\abs{S}$ ist gerade}
 	\State berechne auf dem durch $S$ induzierten Teilgraphen des $K_n$ ein leichtestes Matching $M_\mathrm{CH}$
 	\State berechne eine Euler-Tour $E = (u_1, u_2, \dots)$ auf $T_\mathrm{CH} \cupdot M_\mathrm{CH}$ \Comment{$T_\mathrm{CH} \cupdot M_\mathrm{CH}$ kann Multi-Graph sein, alle Knoten haben geraden Grad}
-	\State entferne Wiederholungen von Knoten in $E$, sodass man $E'$ erhält\\
-	\Return $E'$
+	\State entferne Wiederholungen von Knoten in $E$, sodass man $E'$ erhält
+	\State\Return $E'$
 \end{algorithmic}
 
 \begin{satz}