Mengenkonstruktionen

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 	\item Subjektreduktion: Wenn $\Gamma\vdash t:\alpha$ und $t \rightarrow_\beta^* s$, dann auch $\Gamma \vdash s:\alpha$, aber nicht umgekehrt! \satz{3.38}{45}
 \end{itemize}
 \section*{Induktive Datentypen}
-\subsection*{Mengenkonstruktionen}
+\subsection*{Mengenkonstruktionen} \defin{4.12}{56}\lem{4.13}{57}
-\subsection*{Mehrsortigkeit}
+\begin{align*}
+X_1 \times X_2 &= \left\lbrace \left(x_1, x_2\right)\vert x_i \in X_i\text{ für } i=1,2\right\rbrace &&\text{(\enquote{struct})}\\
+X_1 + X_2 &= \left\lbrace (i,x) \vert i=1,2, x\in X_i\right\rbrace &&\text{(\enquote{union})}\\
+1 &= \left\lbrace * \right\rbrace &&\text{\enquote{()} in Haskell}
+\end{align*}
 
+Seien $f_i :X_i \rightarrow Y_i$, $g_i: X_i \rightarrow Z$ und $h_i : Z \rightarrow X_i$ mit $i \in \{1,2\}$.
+\begin{align*}
+f_1 \times f_2 &: X_1 \times X_2 \rightarrow Y_1 \times Y_2, & (f_1\times f_2) (x_1, x_2) &= (f_1(x_1), f_2(x_2))\\
+f_1 + f_2 &: X_1 + X_2 \rightarrow Y_1 + Y_2, & (f_1+f_2)(i,x) &= (i, f_i(x))\\
+[g_1, g_2] &: X_1 + X_2 \rightarrow Z, & [g_1, g_2])(i,x) &= g_i(x)\\
+\langle h_1, h_2\rangle &: Z\rightarrow X_1\times X_2, & \langle h_1, h_2\rangle(z) &= (h_1(z), h_2(z))\\
+in_i &: X_i \rightarrow X_1 + X_2, & in_i(x) &= (i,x)\\
+\pi_i &: X_1\times X_2 \rightarrow X_i, & \pi_i(x_1,x_2) &= x_i\\
+1&: 1\rightarrow 1
+\end{align*}
+
+Es gilt
+\begin{align*}
+[g_1, g_2] \circ in_i &= g_i\\
+f_1 + f_2 &= [in_1 \circ f_1, in_2 \circ f_2]\\
+[r\circ in_1, r\circ in_2] &= r \text{ für } r: X_1+X_2 \rightarrow Z\\
+\pi_i \circ \langle h_1, h_2\rangle &= h_i\\
+f_1 \times f_2 &= \langle f_1 \circ\pi_1, f_2\circ\pi_2\rangle\\
+\langle\pi_i \circ f, \pi_2\circ f\rangle &= f \text{ für } f: Z\rightarrow X_1\times X_2
+\end{align*}
 \subsection*{Strukturelle Induktion}
 \begin{itemize}
 \item über einsortige Datentypen \siehe{S. 63}
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 \end{itemize}
 \end{itemize}
 \subsection*{Kodatentypen}
+\begin{itemize}
+	\item Definition über \enquote{Destruktoren} etwa $hd$ und $tl$
+\end{itemize}
 \subsection*{Koinduktion}
 \begin{itemize}
 	\item Bisimulation $R\subseteq A^\omega \times A^\omega$, wenn für alle $(s,t) \in R$ gilt: \defin{4.39}{74}