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Marco Ammon
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BIN
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@ -665,7 +665,8 @@
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\subsection{Indexanalyse}
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\begin{itemize}
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\item Bestimmung, ob 2 Array-Zugriffe selbe bzw. unterschiedliche Elemente ansprechen: Grundannahme pessimistisch (gleiches Element)
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\item Für 2 Array-Zugriffe $S1: A[f_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, f_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ und $S2: A[f_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, f_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ gilt $S1 \delta S2$ $\Leftrightarrow$:\begin{itemize}
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\item Für 2 Array-Zugriffe $S1$ $A[f_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, f_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ und\\
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$S2$ $A[g_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, g_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ gilt $S1 \delta S2$ $\Leftrightarrow$:\begin{itemize}
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\item mindestens ein Schreibzugriff
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\item $\exists I, J: I=(i_1, \textellipsis, i_d) \angle J =(j_1, \textellipsis, j_d)$ mit $I, J$ innerhalb der Schleifengrenzen (Ungleichunssystem mit Nebenbedingungen)
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\item $\forall p: f_p(I) = g_p(J)$ (Gleichungssystem mit Schleifenlaufvariablen als Variablen und Konstanten aus linearem Index-Ausdruck als Koeffizienten)
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@ -678,13 +679,16 @@
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\item Für verschiedene Arten der Abhängigkeit in obige Kriterien einsetzen
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\end{enumerate}
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\item Ungleichungstest:\begin{enumerate}
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\item Ungleichungen für verwendete Variablen aufstellen
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\item Ungleichungen für im Code verwendete Variablen $i$ mit $i_\mathrm{w}$, $i_\mathrm{r}$ für Schreib- und Lesezugriff aufstellen:\begin{enumerate}
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\item Ungleichungen für Schleifengrenzen
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\item Ungleichungen für relative Beziehung von $i_\mathrm{w}$ und $i_\mathrm{r}$
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\end{enumerate}
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\item Gleichung für Zugriff aufstellen und so umstellen, dass 0 auf einer Seite steht
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\item In Gleichung jeweils untere und obere Grenzwerte einsetzen und damit ein Intervall bestimmen
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\item Sofern Intervall nicht 0 enthält, keine Abhängigkeit
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\end{enumerate}
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\item Fourier-Motzkin-Test: \begin{itemize}
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\item Ungleichungssystem in kanonische Form überführen: \begin{itemize}
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\item Ungleichungssystem in kanonische Form ($\le c$, $c$ Konstante) überführen \begin{itemize}
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\item $\beta < b \cdot z$ untere Schranke für $z$ mit $\beta > 0$
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\item $a \cdot z < \alpha$ obere Schranke für $z$ mit $\alpha > 0$
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\end{itemize}
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@ -692,6 +696,22 @@
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\begin{equation*}
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a\cdot \beta \leq a \cdot z \cdot b \leq b\cdot \alpha \rightarrow a\cdot \beta \leq b\cdot \alpha
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\end{equation*}
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\item Algorithmus aus Übung: \begin{algorithmic}
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\Repeat
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\State Unbekannte $x_j$ auswählen
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\State $L \gets \lbrace i \mid a_{ij} < 0 \rbrace$
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\State $U \gets \lbrace i \mid a_{ij} > 0 \rbrace$
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\ForAll{$i \in L \cup U$}
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\State Reihe $i$ mit $\vert a_{ij}\vert$ normalisieren
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\EndFor
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\ForAll{$i \in L$}
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\ForAll{$k \in U$}
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\State Füge Ungleichung $A_{[i]} + A {[k]} \leq b_i + b_k$ hinzu
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\EndFor
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\EndFor
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\State Ignoriere/Lösche alle Reihen aus $L \cup U$
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\Until{System aus trivialen Ungleichungen}
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\end{algorithmic}
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\item Kleineres Problem $a\cdot \beta \leq b\cdot \alpha$ rekursiv lösen:\begin{itemize}
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\item keine Lösung $\rightarrow$ unabhängig
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\item Lösung existiert $\rightarrow$ Prüfung, ob auch ganzzahlige Lösung für $a\cdot z\cdot b$ existiert
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@ -703,7 +723,7 @@
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\subsection{Entfernung von schleifengetragenen Datenabhängigkeiten}
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\begin{itemize}
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\item Legalität: Für jede Datenabhängigkeit muss die relative Reihenfolge auch nach Anwendung der Transformation bzw. Restrukturierung erhalten bleiben, die entstehenden Abhängigkeitsdistanzvektoren nicht lexikographisch sein
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\item Legalität: Für jede Datenabhängigkeit muss die relative Reihenfolge auch nach Anwendung der Transformation bzw. Restrukturierung erhalten bleiben, die entstehenden Abhängigkeits\-distanz\-vektoren nicht lexikographisch sein
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\end{itemize}
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\subsubsection{Schleifentransformationen}
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@ -794,11 +814,9 @@
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\item ggf. Ermöglichung weiterer Optimierungen wie Verschmelzung
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\end{itemize}
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\item Neigen:\begin{itemize}
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\item Schleifenneigen:\begin{itemize}
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\item Verschiebung des Array-Indexbereichs der inneren Schleife um $f \cdot i$ mit $f$ Neigungsfaktor und $i$ Iterationsvariable der äußeren Schleife
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\item Abzug von $f \cdot i$ bei Verwendungen der inneren Iterationsvariable
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\item Abhängigkeit $(d_1, d_2)$ wird zu $(d_1, d_2 + f \cdot d_1)$ $\rightarrow$ Ermöglichung weiterer Restrukturierungen
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\end{itemize}
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\item Verschiebung des Array-Indexbereichs der inneren Schleife um $f \cdot i$ mit $f$ Neigungsfaktor und $i$ Iterationsvariable der äußeren Schleife
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\item Abzug von $f \cdot i$ bei Verwendungen der inneren Iterationsvariable
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\item Abhängigkeit $(d_1, d_2)$ wird zu $(d_1, d_2 + f \cdot d_1)$ $\rightarrow$ Ermöglichung weiterer Restrukturierungen
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\end{itemize}
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\item Allgemeiner Fall:\begin{itemize}
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\item Transformation der Indexvektoren mit Matrix $U$ mit Eigenschaften (unimodular):\begin{itemize}
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