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verfahren.tex

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 \subsection{Indexanalyse}
 \begin{itemize}
 	\item Bestimmung, ob 2 Array-Zugriffe selbe bzw. unterschiedliche Elemente ansprechen: Grundannahme pessimistisch (gleiches Element)
-	\item Für 2 Array-Zugriffe $S1: A[f_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, f_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ und $S2: A[f_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, f_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ gilt $S1 \delta S2$ $\Leftrightarrow$:\begin{itemize}
+	\item Für 2 Array-Zugriffe $S1$ $A[f_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, f_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ und\\
+	$S2$ $A[g_1(i_1, \textellipsis, i_d), \textellipsis, g_m(i_1, \textellipsis, i_d)]$ gilt $S1 \delta S2$ $\Leftrightarrow$:\begin{itemize}
 		\item mindestens ein Schreibzugriff
 		\item $\exists I, J: I=(i_1, \textellipsis, i_d) \angle J =(j_1, \textellipsis, j_d)$ mit $I, J$ innerhalb der Schleifengrenzen (Ungleichunssystem mit Nebenbedingungen)
 		\item $\forall p: f_p(I) = g_p(J)$ (Gleichungssystem mit Schleifenlaufvariablen als Variablen und Konstanten aus linearem Index-Ausdruck als Koeffizienten)
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 			\item Für verschiedene Arten der Abhängigkeit in obige Kriterien einsetzen
 		\end{enumerate}
 		\item Ungleichungstest:\begin{enumerate}
-			\item Ungleichungen für verwendete Variablen aufstellen
+			\item Ungleichungen für im Code verwendete Variablen $i$ mit $i_\mathrm{w}$, $i_\mathrm{r}$ für Schreib- und Lesezugriff aufstellen:\begin{enumerate}
+				\item Ungleichungen für Schleifengrenzen
+				\item Ungleichungen für relative Beziehung von $i_\mathrm{w}$ und $i_\mathrm{r}$
+			\end{enumerate}
 			\item Gleichung für Zugriff aufstellen und so umstellen, dass 0 auf einer Seite steht
 			\item In Gleichung jeweils untere und obere Grenzwerte einsetzen und damit ein Intervall bestimmen
 			\item Sofern Intervall nicht 0 enthält, keine Abhängigkeit
 		\end{enumerate}
 		\item Fourier-Motzkin-Test: \begin{itemize}
-			\item Ungleichungssystem in kanonische Form überführen: \begin{itemize}
+			\item Ungleichungssystem in kanonische Form ($\le c$, $c$ Konstante) überführen \begin{itemize}
 				\item $\beta < b \cdot z$ untere Schranke für $z$ mit $\beta > 0$
 				\item $a \cdot z < \alpha$ obere Schranke für $z$ mit $\alpha > 0$
 			\end{itemize}
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 			\begin{equation*}
 				a\cdot \beta \leq a \cdot z \cdot b \leq b\cdot \alpha \rightarrow a\cdot \beta \leq b\cdot \alpha
 			\end{equation*}
+			\item Algorithmus aus Übung: \begin{algorithmic}
+				\Repeat
+					\State Unbekannte $x_j$ auswählen
+					\State $L \gets \lbrace i \mid a_{ij} < 0 \rbrace$
+					\State $U \gets \lbrace i \mid a_{ij} > 0 \rbrace$
+					\ForAll{$i \in L \cup U$}
+						\State Reihe $i$ mit $\vert a_{ij}\vert$ normalisieren
+					\EndFor
+					\ForAll{$i \in L$}
+						\ForAll{$k \in U$}
+							\State Füge Ungleichung $A_{[i]} + A {[k]} \leq b_i + b_k$ hinzu
+						\EndFor
+					\EndFor
+					\State Ignoriere/Lösche alle Reihen aus $L \cup U$
+				\Until{System aus trivialen Ungleichungen}
+			\end{algorithmic}
 			\item Kleineres Problem $a\cdot \beta \leq b\cdot \alpha$ rekursiv lösen:\begin{itemize}
 				\item keine Lösung $\rightarrow$ unabhängig
 				\item Lösung existiert $\rightarrow$ Prüfung, ob auch ganzzahlige Lösung für $a\cdot z\cdot b$ existiert
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 \subsection{Entfernung von schleifengetragenen Datenabhängigkeiten}
 \begin{itemize}
-	\item Legalität: Für jede Datenabhängigkeit muss die relative Reihenfolge auch nach Anwendung der Transformation bzw. Restrukturierung erhalten bleiben, die entstehenden Abhängigkeitsdistanzvektoren nicht lexikographisch sein
+	\item Legalität: Für jede Datenabhängigkeit muss die relative Reihenfolge auch nach Anwendung der Transformation bzw. Restrukturierung erhalten bleiben, die entstehenden Abhängigkeits\-distanz\-vektoren nicht lexikographisch sein
 \end{itemize}
 
 \subsubsection{Schleifentransformationen}
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 		\item ggf. Ermöglichung weiterer Optimierungen wie Verschmelzung
 	\end{itemize}
 	\item Neigen:\begin{itemize}
-		\item Schleifenneigen:\begin{itemize}
+		\item Verschiebung des Array-Indexbereichs der inneren Schleife um $f \cdot i$ mit $f$ Neigungsfaktor und $i$ Iterationsvariable der äußeren Schleife
-			\item Verschiebung des Array-Indexbereichs der inneren Schleife um $f \cdot i$ mit $f$ Neigungsfaktor und $i$ Iterationsvariable der äußeren Schleife
+		\item Abzug von $f \cdot i$ bei Verwendungen der inneren Iterationsvariable
-			\item Abzug von $f \cdot i$ bei Verwendungen der inneren Iterationsvariable
+		\item Abhängigkeit $(d_1, d_2)$ wird zu $(d_1, d_2 + f \cdot d_1)$ $\rightarrow$ Ermöglichung weiterer Restrukturierungen
-			\item Abhängigkeit $(d_1, d_2)$ wird zu $(d_1, d_2 + f \cdot d_1)$ $\rightarrow$ Ermöglichung weiterer Restrukturierungen
-		\end{itemize}
 	\end{itemize}
 	\item Allgemeiner Fall:\begin{itemize}
 		\item Transformation der Indexvektoren mit Matrix $U$ mit Eigenschaften (unimodular):\begin{itemize}