Definition der konstanten Gütegarantie

zusammenfassung.tex

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 %\usepackage{datetime}
 %\usepackage{xcolor}
 
-\DeclareMathOperator{\opt}{\mathrm{OPT}}
+\DeclareMathOperator{\opt}{OPT}
-\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
+\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
 
 \setlist[enumerate,1]{label={\arabic*.}}
 \setlist[enumerate,2]{label={\alph*)}}
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 \tableofcontents
 \clearpage
-\section{Grundlegende Definitionen}
+\section{Kombinatorisches Optimierungsproblem $\phi$}
-\subsection{Kombinatorisches Optimierungsproblem $\phi$}
+\subsection{Definition}
 \begin{align*}
 	\mathcal{D} &= \text{Menge der Eingaben $I$}\\
 	\mathcal{S}(I \in \mathcal{D}) &= \text{Menge der zur Eingabe $I$ zulässigen Lösungen}\\
@@ -62,10 +62,34 @@ Gesucht ist zu $I \in \mathcal{D}$ eine zulässige Lösung $\sigma_\mathrm{opt}
 	\opt(I) = f(\sigma_\mathrm{opt}) = \mathrm{ziel}\{f(\sigma) \mid \sigma \in \mathcal{S}(I) \}
 \end{equation*}
 
-\subsubsection{Beispiele}
+\subsection{Beispiele}
 TODO: TSP, Rucksackproblem, etc.
 
-\subsection{$t(n)$-Zeit-Approximationsalgorithmus $A$}
+\section{$t(n)$-Zeit-Approximationsalgorithmus $A$}
-Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs I \abs)$ eine Ausgabe $\sigma_I^A \in \mathcal{S}(I)$. Es gilt die Schreibweise $A(I) = f(\sigma_I^A)$.
+Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe $\sigma_I^A \in \mathcal{S}(I)$. Es gilt die Schreibweise $A(I) = f(\sigma_I^A)$.
 
+\section{Konstante Gütegarantie}
+\subsection{Definition}
+\begin{itemize}
+	\item $A$ hat bei Eingabe $I$ absolute Güte von
+	\begin{equation*}
+	\kappa_A(I) = \abs{A(I) - \opt(I)}
+	\end{equation*}
+	\item Die absolute Worst-Case-Güte von $A$ abhängig von der Eingabelänge $n = \abs{I}$ ist die Funktion
+	\begin{equation*}
+		\kappa_A^{\mathrm{wc}}(n) = \max\{\kappa_A(I) \mid I \in \mathcal{D}, \abs{I} <= n\}
+	\end{equation*}
+	\item $A$ garantiert eine absolute Güte von $\kappa_A: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:
+	\begin{equation*}
+		\kappa_A^{\mathrm{wc}} \le \kappa_A(n)
+	\end{equation*}
+	\item $A$ hat eine absolute Abweichung von $\kappa'_A: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$, falls für unendlich viele $n$ gilt
+	\begin{equation*}
+		\kappa'_A(n) \le \kappa_A^{wc}(n)
+	\end{equation*}
+	Eine unendlich große Menge $\mathcal{D}' \subseteq \mathcal{D}$ heißt $\kappa'_A(n)$-Zeugenmenge gegen $A$, wenn für alle $I \in \mathcal{D}'$ gilt:
+	\begin{equation*}
+		\kappa_A(I) \ge \kappa'_A(\abs{I})
+	\end{equation*}
+\end{itemize}
 \end{document}