Graphfärben angefangen

zusammenfassung.tex

@@ -6,6 +6,7 @@
 \usepackage{scrextend}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsthm}
 \usepackage{enumitem}
 \usepackage{mathtools}
 \usepackage[load=named]{siunitx}
@@ -28,6 +29,11 @@
 \DeclareMathOperator{\opt}{OPT}
 \DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
 
+\newtheorem*{satz}{Satz}
+\newtheorem*{zeuge}{Zeuge}
+
+\newcommand*{\algo}[1]{\textsc{#1}}
+
 \setlist[enumerate,1]{label={\arabic*.}}
 \setlist[enumerate,2]{label={\alph*)}}
 
@@ -92,4 +98,59 @@ Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe
 		\kappa_A(I) \ge \kappa'_A(\abs{I})
 	\end{equation*}
 \end{itemize}
+
+
+\section{Graphfärbbarkeit}
+\subsection{Knotenfärbungsproblem}
+\subsubsection{Definition}
+\begin{align*}
+	\mathcal{D} &= \{\langle G\rangle \mid G = (V, E)\,\text{ein ungerichteter Graph mit mindestens einer Kante}\}\\
+	\mathcal{S}(\langle G \rangle) &= \{ c_\mathrm{V} \mid c_\mathrm{V}\, \text{ist eine Knotenfärbung von}\, G\}\\
+	f(c_\mathrm{V}) &= \abs{c_\mathrm{V}(V)}\\
+	\mathrm{ziel} &= \min
+\end{align*}
+
+Die Größe der kleinsten möglichen Knotenfärbung ist die chromatische Zahl $\chi(G)$.
+\subsubsection{Algorithmen}
+\paragraph{\algo{GreedyCol}}
+\begin{algorithmic}[]
+	\ForAll{$u_i \in V$}
+		\State $c_\mathrm{V}(u_i) = \infty$
+	\EndFor
+	\ForAll{$i \in [1,\dots, \abs{V}]$}
+		\State $c_\mathrm{V}(u_i) = \min\{\mathbb{N}\setminus\{c_\mathrm{V}(\Gamma(u_i))\}\}$
+	\EndFor\\
+	\Return $c_\mathrm{V}$
+\end{algorithmic}
+
+\begin{satz}
+	\algo{GreedyCol} berechnet in Zeit $\mathcal{O}(\abs{V} + \abs{E})$ eine Knotenfärbung aus höchstens $\Delta(G) + 1$ Farben.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Da ein Knoten $u$ maximal $\Delta(G)$ viele Nachbarn haben kann, muss in $[1,\dots,\Delta(G)+1]$ noch mindestens eine Farbe frei sein.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+	\algo{GreedyCol} garantiert eine absolute Güte von
+	\begin{equation*}
+		\kappa_\algo{GreedyCol}(G) = \algo{GreedyCol}(G) - \opt(G) \le \Delta(G) + 1 - 2 = \Delta(G) - 1
+	\end{equation*}
+	, weil die untere Schranke $\opt(G)\ge 2$ für Graphen mit $\abs{V} \ge 2$ gilt.
+\end{satz}
+
+\begin{zeuge}
+	$\Delta(G) - 1$-Zeuge gegen \algo{GreedyCol}: TODO (Abbildung 2.1)
+\end{zeuge}
+
+\subsection{Kantenfärbungsproblem}
+\subsubsection{Definition}
+\begin{align*}
+\mathcal{D} &= \{\langle G\rangle \mid G = (V, E)\,\text{ein ungerichteter Graph mit mindestens einer Kante}\}\\
+\mathcal{S}(\langle G \rangle) &= \{ c_\mathrm{E} \mid c_\mathrm{E}\, \text{ist eine Kantenfärbung von}\, G\}\\
+f(c_\mathrm{E}) &= \abs{c_\mathrm{E}(E)}\\
+\mathrm{ziel} &= \min
+\end{align*}
+Die Größe der kleinsten möglichen Kantenfärbung ist der chromatische Index $\chi'(G)$.
+\subsubsection{Algorithmen}
+TODO: Übung
 \end{document}