Graphfärben angefangen

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Marco Ammon 2020-10-14 10:10:29 +02:00
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@ -6,6 +6,7 @@
\usepackage{scrextend} \usepackage{scrextend}
\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath} \usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{enumitem} \usepackage{enumitem}
\usepackage{mathtools} \usepackage{mathtools}
\usepackage[load=named]{siunitx} \usepackage[load=named]{siunitx}
@ -28,6 +29,11 @@
\DeclareMathOperator{\opt}{OPT} \DeclareMathOperator{\opt}{OPT}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert} \DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\newtheorem*{satz}{Satz}
\newtheorem*{zeuge}{Zeuge}
\newcommand*{\algo}[1]{\textsc{#1}}
\setlist[enumerate,1]{label={\arabic*.}} \setlist[enumerate,1]{label={\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label={\alph*)}} \setlist[enumerate,2]{label={\alph*)}}
@ -92,4 +98,59 @@ Für Eingabe $I \in \mathcal{D}$ berechnet $A$ in Zeit $t(\abs{I})$ eine Ausgabe
\kappa_A(I) \ge \kappa'_A(\abs{I}) \kappa_A(I) \ge \kappa'_A(\abs{I})
\end{equation*} \end{equation*}
\end{itemize} \end{itemize}
\section{Graphfärbbarkeit}
\subsection{Knotenfärbungsproblem}
\subsubsection{Definition}
\begin{align*}
\mathcal{D} &= \{\langle G\rangle \mid G = (V, E)\,\text{ein ungerichteter Graph mit mindestens einer Kante}\}\\
\mathcal{S}(\langle G \rangle) &= \{ c_\mathrm{V} \mid c_\mathrm{V}\, \text{ist eine Knotenfärbung von}\, G\}\\
f(c_\mathrm{V}) &= \abs{c_\mathrm{V}(V)}\\
\mathrm{ziel} &= \min
\end{align*}
Die Größe der kleinsten möglichen Knotenfärbung ist die chromatische Zahl $\chi(G)$.
\subsubsection{Algorithmen}
\paragraph{\algo{GreedyCol}}
\begin{algorithmic}[]
\ForAll{$u_i \in V$}
\State $c_\mathrm{V}(u_i) = \infty$
\EndFor
\ForAll{$i \in [1,\dots, \abs{V}]$}
\State $c_\mathrm{V}(u_i) = \min\{\mathbb{N}\setminus\{c_\mathrm{V}(\Gamma(u_i))\}\}$
\EndFor\\
\Return $c_\mathrm{V}$
\end{algorithmic}
\begin{satz}
\algo{GreedyCol} berechnet in Zeit $\mathcal{O}(\abs{V} + \abs{E})$ eine Knotenfärbung aus höchstens $\Delta(G) + 1$ Farben.
\end{satz}
\begin{proof}
Da ein Knoten $u$ maximal $\Delta(G)$ viele Nachbarn haben kann, muss in $[1,\dots,\Delta(G)+1]$ noch mindestens eine Farbe frei sein.
\end{proof}
\begin{satz}
\algo{GreedyCol} garantiert eine absolute Güte von
\begin{equation*}
\kappa_\algo{GreedyCol}(G) = \algo{GreedyCol}(G) - \opt(G) \le \Delta(G) + 1 - 2 = \Delta(G) - 1
\end{equation*}
, weil die untere Schranke $\opt(G)\ge 2$ für Graphen mit $\abs{V} \ge 2$ gilt.
\end{satz}
\begin{zeuge}
$\Delta(G) - 1$-Zeuge gegen \algo{GreedyCol}: TODO (Abbildung 2.1)
\end{zeuge}
\subsection{Kantenfärbungsproblem}
\subsubsection{Definition}
\begin{align*}
\mathcal{D} &= \{\langle G\rangle \mid G = (V, E)\,\text{ein ungerichteter Graph mit mindestens einer Kante}\}\\
\mathcal{S}(\langle G \rangle) &= \{ c_\mathrm{E} \mid c_\mathrm{E}\, \text{ist eine Kantenfärbung von}\, G\}\\
f(c_\mathrm{E}) &= \abs{c_\mathrm{E}(E)}\\
\mathrm{ziel} &= \min
\end{align*}
Die Größe der kleinsten möglichen Kantenfärbung ist der chromatische Index $\chi'(G)$.
\subsubsection{Algorithmen}
TODO: Übung
\end{document} \end{document}