Derandomisierung

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Marco Ammon 2020-10-15 13:17:03 +02:00
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@ -209,7 +209,7 @@ Die hierbei verwendete Vorgehensweise einer Selbstreduktion sowie das \enquote{A
\begin{equation*} \begin{equation*}
\rho_A(I) = \max\left\{\frac{A(I)}{\opt(I)}, \frac{\opt(I)}{A(i)}\right\} \ge 1 \rho_A(I) = \max\left\{\frac{A(I)}{\opt(I)}, \frac{\opt(I)}{A(i)}\right\} \ge 1
\end{equation*} \end{equation*}
\item Die relative worst-case-Güte von $A$ ist die Funktion \item Die relative Worst-Case-Güte von $A$ ist die Funktion
\begin{equation*} \begin{equation*}
\rho_A^\mathrm{wc}(n) = \max\left\{\rho_A(I)\mid I \in \mathcal{D}, \abs{i}\le n\right\} \rho_A^\mathrm{wc}(n) = \max\left\{\rho_A(I)\mid I \in \mathcal{D}, \abs{i}\le n\right\}
\end{equation*} \end{equation*}
@ -772,4 +772,25 @@ Es gilt offensichtlich \begin{equation*}
&= \frac{3}{4}\sum_{j=1}^{m} \hat{Z}_j \ge \frac{3}{4}\cdot \opt(\Phi) &= \frac{3}{4}\sum_{j=1}^{m} \hat{Z}_j \ge \frac{3}{4}\cdot \opt(\Phi)
\end{align*} \end{align*}
\end{proof} \end{proof}
\subsection{Derandomisierung durch die Methode der bedingten Erwartungswerte}
Die Ansätze mancher randomisierten Algorithmen können so modifiziert werden, dass sie deterministisch ein Ergebnis zurückliefern, was mindestens so gut wie der Erwartungswert des nicht-deterministischen Algorithmus ist.
Man macht sich hierbei unter anderem die Eigenschaft des randomisierten Algorithmus zu Nutze, dass der Erwartungswert auch ohne wirkliche Ausführung des Algorithmus berechenbar ist.
Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} benutzt den Erwartungswert für Algorithmus $A$ um nach und nach alle Variablen $x_i$ zu belegen. Für jede Variable wird einmal \textsc{True} und \textsc{False} eingesetzt, dann mit der resultierenden Formel mit höherem Erwartungswert fortgefahren:
\begin{algorithmic}[]
\For{$i = 1\dots n(I)$}
\State $W_\textsc{False} = E\left[A(I)\mid x_1,\dots,x_{i-1}, x_i = \textsc{False}\right]$
\State $W_\textsc{True} = E\left[A(I)\mid x_1,\dots,x_{i-1}, x_i = \textsc{True}\right]$
\If{$W_\textsc{False} < W_\textsc{True}$}
\State $x_i = \textsc{True}$
\Else
\State $x_i = \textsc{False}$
\EndIf
\EndFor
\State \Return $b = (x_1, \dots, x_{n(I)})$
\end{algorithmic}
\begin{satz}
Der Algorithmus \algo{Derand\_$A$} approximiert \problem{Max-SAT} mit relativer Worst-Case-Güte $\rho_{\algo{Derand\_}A} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^k}}$ in Polynomzeit.
\end{satz}
\end{document} \end{document}