2020-10-13 15:31:09 +02:00
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\documentclass [11pt,a4paper,toc] { scrartcl}
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\DeclareMathOperator { \opt } { OPT}
\DeclarePairedDelimiter \abs { \lvert } { \rvert }
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\setlist [enumerate,1] { label={ \arabic * .} }
\setlist [enumerate,2] { label={ \alph * )} }
\title { Approximationsalgorithmen}
\author { Marco Ammon}
\date { \today }
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\g @addto@macro\bfseries { \boldmath }
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\begin { document}
\maketitle
\tableofcontents
\clearpage
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\section { Kombinatorisches Optimierungsproblem $ \phi $ }
\subsection { Definition}
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\begin { align*}
\mathcal { D} & = \text { Menge der Eingaben $ I $ } \\
\mathcal { S} (I \in \mathcal { D} ) & = \text { Menge der zur Eingabe $ I $ zulässigen Lösungen} \\
f: \mathcal { S} (I) \mapsto \mathbb { N} ^ { \neq 0} & = \text { Bewertungs-/Kosten-/Maßfunction} \\
\mathrm { ziel} \in \{ \min , \max \}
\end { align*}
\begin { itemize}
\item Beschränkung auf natürliche Zahlen, weil Vergleich reeller Zahlen bislang nicht beweisbar schnell funktioniert.
\item Ausschluss der 0 für spätere Definitionen sinnvoll (lässt sich durch Modifikation von $ f $ in der Regel trivial erreichen)
\end { itemize}
Gesucht ist zu $ I \in \mathcal { D } $ eine zulässige Lösung $ \sigma _ \mathrm { opt } \in \mathcal { S } ( I ) $ , sodass
\begin { equation*}
\opt (I) = f(\sigma _ \mathrm { opt} ) = \mathrm { ziel} \{ f(\sigma ) \mid \sigma \in \mathcal { S} (I) \}
\end { equation*}
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\subsection { Beispiele}
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TODO: TSP, Rucksackproblem, etc.
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\section { $ t ( n ) $ -Zeit-Approximationsalgorithmus $ A $ }
Für Eingabe $ I \in \mathcal { D } $ berechnet $ A $ in Zeit $ t ( \abs { I } ) $ eine Ausgabe $ \sigma _ I ^ A \in \mathcal { S } ( I ) $ . Es gilt die Schreibweise $ A ( I ) = f ( \sigma _ I ^ A ) $ .
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\section { Konstante Gütegarantie}
\subsection { Definition}
\begin { itemize}
\item $ A $ hat bei Eingabe $ I $ absolute Güte von
\begin { equation*}
\kappa _ A(I) = \abs { A(I) - \opt (I)}
\end { equation*}
\item Die absolute Worst-Case-Güte von $ A $ abhängig von der Eingabelänge $ n = \abs { I } $ ist die Funktion
\begin { equation*}
\kappa _ A^ { \mathrm { wc} } (n) = \max \{ \kappa _ A(I) \mid I \in \mathcal { D} , \abs { I} <= n\}
\end { equation*}
\item $ A $ garantiert eine absolute Güte von $ \kappa _ A: \mathbb { N } \mapsto \mathbb { N } $ , falls für alle $ n \in \mathbb { N } $ gilt:
\begin { equation*}
\kappa _ A^ { \mathrm { wc} } \le \kappa _ A(n)
\end { equation*}
\item $ A $ hat eine absolute Abweichung von $ \kappa ' _ A: \mathbb { N } \mapsto \mathbb { N } $ , falls für unendlich viele $ n $ gilt
\begin { equation*}
\kappa '_ A(n) \le \kappa _ A^ { wc} (n)
\end { equation*}
Eine unendlich große Menge $ \mathcal { D } ' \subseteq \mathcal { D } $ heißt $ \kappa ' _ A ( n ) $ -Zeugenmenge gegen $ A $ , wenn für alle $ I \in \mathcal { D } ' $ gilt:
\begin { equation*}
\kappa _ A(I) \ge \kappa '_ A(\abs { I} )
\end { equation*}
\end { itemize}
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\end { document}