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Einfach getypter Lambda-Kalkül, Typinferenz, Unif.

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Marco Ammon 2018-10-03 16:16:26 +02:00
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@ -16,6 +16,7 @@
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{upgreek}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
@ -30,6 +31,7 @@
%Abkürzungen für Symbole, Reduktionen, etc.
\newcommand{\app}{\ensuremath{\rightarrow_a}}
\newcommand{\norm}{\ensuremath{\rightarrow_n}}
\newcommand{\pteq}{\ensuremath{\overset{\cdot}{=}}}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definition}[section]
@ -68,6 +70,50 @@
\item terminiert immer, falls Normalform existiert (nach Standardisierungssatz) \satz{3.17}{35}
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection*{Getypt}
\subsection*{Einfach getypt $(\lambda \rightarrow)$}
\siehe{S. 39}\begin{itemize}
\item Church: Annotation der Variablen mit Typen, nur herleitbare Terme hinschreibbar
\item Curry: Alle Terme hinschreibbar, dann Aussondern der nicht typisierbaren
\item Typregeln: \siehe{S. 39}
\begin{itemize}
\item \textbf{TODO}
\end{itemize}
\item Typisierungsprobleme \begin{itemize}
\item Typcheck: \enquote{Gilt $\Gamma \vdash t:\alpha$?}
\item Typinferenz: \enquote{Was ist das beste $\alpha$ / Existiert $\alpha$ mit $\Gamma \vdash t:\alpha$?}
\item Type inhabitation: \enquote{Existiert $t$ mit $\Gamma t:\alpha$?}
\end{itemize}
\item Inversionslemma \lem{3.29}{41} \textbf{TODO}
\item Typinferenz \siehe{S. 41}
\begin{itemize}
\item Typsubstitution $\sigma$ ist Lösung von $\Gamma \vdash t:\alpha$, wenn $\Gamma\sigma \vdash t:\alpha\sigma$ herleitbar
\item Substitutionen: $\sigma_1$ allgemeiner als $\sigma_2 \Leftrightarrow \exists \tau. \sigma_1\tau = \sigma_2$ \siehe{GLoIn, S. 38}
\item Prinzipaltyp von $\Gamma, t$ ist $\sigma(a)$ für allgemeinste Lösung $\sigma$ von $\Gamma\vdash t:a$ ($a$ frisch)
\item Algorithmus W (Hindley/Milner)
\begin{itemize}
\item Menge $PT$ von Typgleichungen
\begin{align*}
PT(\Gamma;x;\alpha) &= \lbrace a\pteq b \vert x:\beta \in \Gamma\rbrace\\
PT(\Gamma; \lambda x.t; \alpha) &= PT((\Gamma;x:a);t;b) \cup \lbrace a\rightarrow b \pteq \alpha \rbrace\ \text{mit $a,b$ frisch}\\
PT(\Gamma;ts;\alpha) &= PT(\Gamma; t; a\rightarrow \alpha ) \cup PT(\Gamma;s;a)\ \text{mit $a$ frisch}
\end{align*}
\item Typinferenz des Terms $u$ mit leerem Kontext:
\begin{equation*}
\upvarepsilon \coloneqq PT(\emptyset;u;a)
\end{equation*}
$\Rightarrow$ Prinzipaltyp von $u$: $\text{mgu}(\upvarepsilon)(a)$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}
\section*{Unifikationsalgorithmus (Martelli/Montanari)}
\begin{align*}
&S \cup \lbrace x \pteq x\rbrace &&\rightarrow S &&\text{(delete)}\\
&S \cup \lbrace f(E_1, \ldots, E_n) \pteq f(D_1, \ldots, D_n)\rbrace &&\rightarrow S \cup \lbrace E_1 \pteq D_1, \ldots, E_n \pteq D_n\rbrace &&\text{(decomp)}\\
&S \cup \lbrace f(E_1, \ldots, E_n) \pteq g(D_1, \ldots, D_k)\rbrace &&\rightarrow \bot \text{ (für $f \not = g$)} &&\text{(conflict)}\\
&S \cup \lbrace E \pteq x \rbrace &&\rightarrow S \cup \lbrace x \pteq E \rbrace \text{ (für $E$ keine Variable)} &&\text{(orient)}\\
&S \cup \lbrace x \pteq E \rbrace &&\rightarrow \begin{cases*}
\bot (\text{für }x \in FV(E), x\not = E) \\
S\lbrack E/x\rbrack \cup \lbrace x \pteq E\rbrace (\text{für }x\notin FV(E), x\in FV(S))
\end{cases*} && \text{ (occurs)/(elim)}
\end{align*}
\end{document}